Question

【題目】如圖1，在直角坐標系xoy中，點A、B分別在x、y軸的正半軸上，將線段AB繞點B順時針旋轉90°，點A的對應點為點C．

（1）若A（6，0），B（0，4），求點C的坐標；

（2）以B為直角頂點，以AB和OB為直角邊分別在第一、二象限作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBE，連DE交y軸于點M，當點A和點B分別在x、y軸的正半軸上運動時，判斷并證明AO與MB的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）C(－4，－2)；（2）AO＝ 2MB．證明見解析.

【解析】

（1）過C點作y軸的垂線段，垂足為H點，證明△ABO≌△BCH，利用全等三角形的性質結合C在第三象限即可求得C點坐標；

（2）過D點作DN⊥y軸于點N，證明△DBN≌△BAO，根據全等三角形對應邊相等BN＝AO，DN＝BO，再證明△DMN≌△EMB，可得MN＝MB，于是可得AO＝2MB.

（1）解：過C點作y軸的垂線段，垂足為H點．

∴∠BHC＝∠AOB＝90°，

∵A（6，0），B（0，4）

∴OA=6，OB=4

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABO＋∠OBC＝90°，又∠ABO＋∠OAB＝90°，

∴∠OBC＝∠OAB，

∵在△ABO和△BCH中

∴△ABO≌△BCH，

∴AO＝BH＝6，CH＝BO＝4，

∴OH＝2，

∴C(－4，－2)．

（2）AO＝ 2MB．

過D點作DN⊥y軸于點N，

∴∠BND＝∠AOB＝90°，

∵△ABD、△OBE為等腰直角三角形，

∴∠ABD＝∠OBE＝90°，AB＝BD，BO＝BE，

∴∠DBN＋∠ABO＝∠BAO＋∠ABO＝90°，

∴∠DBN＝∠BAO，

∴△DBN≌△BAO，

∴BN＝AO，DN＝BO，

在△DMN和△EMB中，

∵DN＝BO=BE，∠DNM＝∠EBM，∠DMN＝∠EMB，

∴△DMN≌△EMB，

∴MN＝MB＝BN＝AO

∴AO＝2MB．