Question

【題目】如圖，在⊙O中，將沿弦BC所在直線折疊，折疊后的弧與直徑AB相交于點D，連接CD．

（1）若點D恰好與點O重合，則∠ABC=　 　°；

（2）延長CD交⊙O于點M，連接BM．猜想∠ABC與∠ABM的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 30；(2) ∠ABM=2∠ABC，理由見解析.

【解析】

（1）根據折疊的性質和圓周角定理解答即可；

（2）作點D關于BC的對稱點D'，利用對稱的性質和圓周角定理解答即可．

（1）∵由折疊可知：∠OBC=∠CBD，

∵點D恰好與點O重合，

∴∠COD=60°，

∴∠ABC=∠OBC=；

故答案為：30；

（2）∠ABM=2∠ABC，理由如下：

作點D關于BC的對稱點D'，連接CD'，BD'，

由對稱可得∠DBC=∠D'BC，DC=D'C，

連接CO，D'O，AC，

∴∠AOC=2∠ABC，∠D'OC=2∠D'BC，

∴∠AOC=∠D'OC，

∴AC=D'C，

∵DC=D'C，

∴AC=DC，

∴∠CAD=∠CDA，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAD+∠ABC=90°，

設∠ABC=α，則∠CAD=∠CDA=90°﹣α，

∴∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=2α，

即∠ACD=2∠ABC，

∵∠ABM=∠ACD，

∴∠ABM=2∠ABC．