Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，連結AC，過弧BD上一點E作EG∥AC交CD的延長線于點G，連結AE交CD于點F，且EG＝FG，連結CE．

（1）求證：△ECF∽△GCE；

（2）求證：EG是⊙O的切線；

（3）延長AB交GE的延長線于點M，若tan∠G＝，AH＝3，求EM的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據平行線的性質可得∠G＝∠ACG，再根據圓周角定理可得∠CEF＝∠ACG，即∠G＝∠CEF，然后根據三角形相似的判定即可得證；

（2）連接OE，根據等腰三角形的性質可得∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，∠OAE＝∠OEA，根據題意可得∠AFH+∠FAH＝90°，即∠GEF+∠AEO＝90°，然后切線的判定即可得證；

（3）如圖3中，連接OC，設⊙O的半徑為r，在Rt△AHC中，利用三角形函數求得HC=4，在Rt△HOC中，利用勾股定理列出關于r的方程，求解方程得到r=，然后根據平行線的性質得到∠CAH＝∠M，進而證明△AHC∽△MEO，再利用相似三角形的性質求解即可.

（1）證明：如圖1中，

∵AC∥EG，

∴∠G＝∠ACG，

∵AB⊥CD，

∴＝，

∴∠CEF＝∠ACG，

∴∠G＝∠CEF，

∵∠ECF＝∠ECG，

∴△ECF∽△GCE．

（2）證明：如圖2中，連接OE，

∵GF＝GE，

∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠OEA，

∵∠AFH+∠FAH＝90°，

∴∠GEF+∠AEO＝90°，

∴∠GEO＝90°，

∴GE⊥OE，

∴EG是⊙O的切線．

（3）解：如圖3中，連接OC，設⊙O的半徑為r，

在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tan∠G═，

∵AH＝3，

∴HC＝4，

在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r﹣3，HC＝4，

∴（r﹣3）2+42＝r2，

∴r＝

∵GM∥AC，

∴∠CAH＝∠M，

∵∠OEM＝∠AHC，

∴△AHC∽△MEO，

∴，

∴，

解得：.