Question

【題目】已知，如圖1，O是坐標原點，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過A、B、C三點，AB⊥y軸于點A，AB=2，AO=4，OC=5，點D是線段AO上一動點，連接CD、BD．

（1）求出拋物線的解析式；

（2）如圖2，拋物線的對稱軸分別交BD、CD于點E、F，當△DEF為等腰三角形時，求出點D的坐標；

（3）當∠BDC的度數最大時，請直接寫出OD的長．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+4；（2）當△DEF為等腰三角形時，點D的坐標為（0，）或（0，）或（0，12﹣2）；（3）

【解析】

（1）先確定出點A，B，C的坐標，進而用待定系數法即可得出結論；

（2）先判斷出要△DEF是等腰三角形，即：△BDH是等腰三角形，設出點D坐標，進而表示出BD，DH，BH，分三種情況建立方程求解即可得出結論；

（3）先判斷出∠BDC最大時，BD⊥BC，進而利用相似三角形建立方程求解即可得出結論．

（1）∵AB⊥y軸于點A，AB=2，AO=4，OC=5，

∴A（0，4），B（2，4），C（5，0），

∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過A、B、C三點，

∴，

∴，

∴拋物線解析式為y=-x2-x+4；

（2）如圖，

過點B作BG⊥OC于G，交CD于H，

∴點H，G的橫坐標為2，

∵EF⊥OC，

∴EF∥BH，

∵△DEF是等腰三角形，

∴△BDH是等腰三角形，

設D（0，5m）（0≤m≤），

∵C（5，0），

∴直線CD的解析式為y=﹣mx+5m，

∴H（2，3m），

∴BH=4﹣3m，

∴BH2=9m2﹣24m+16，DH2=4+（5m﹣3m）2=4+4m2，BD2=4+（5m﹣4）2=25m2﹣40m+20，

當BD=DH時，25m2﹣40m+20=4+4m2，

∴m=（舍）或m=，

∴5m=，

∴D（0，），

當BD=BH時，25m2﹣40m+20=9m2﹣24m+16，

∴m=，

∴D（0，），

當BH=DH時，9m2﹣24m+16=4+4m2，

∴m=或m=（舍去），

∴D（0，12﹣2），

即：當△DEF為等腰三角形時，點D的坐標為（0，）或（0，）或（0，12﹣2）；

（3）如圖1，

過點B作BG⊥OC于G，交CD于H，

∴四邊形OABG是矩形，點H，G的橫坐標為2，

∴∠OAB=∠ABG=90°，

∴OG=2，

∵OC=5，

∴CG=3，

∵B（2，4），

∴BG=4，

過點B作BQ⊥CD，

∴∠BQD=90°，

∴要∠BDC最大，

∴∠DBQ最小，

即：BD⊥BC時，∠DBQ最小，

∴∠DBC=90°=∠ABG，

∴∠ABD=∠CBG，

∵∠BGC=∠BAD=90°，

∴△ABD∽△GBC，

∴，

∴，

∴AD=，

∴OD﹣OA﹣AD=．