Question

【題目】如圖，一次函數y=x+m圖象過點A(1，0)，交y軸于點，為y軸負半軸上一點，且，過、兩點的拋物線交直線于點，且CD//x軸．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）觀察圖象，寫出使一次函數值小于二次函數值時的取值范圍；

（3）在題中的拋物線上是否存在一點，使得為直角？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x-3；（2）x<-2或x>1；（3）存在，M（-1，-4）.

【解析】

（1）把A點坐標代入y=x+m可求出m的值，可得一次函數解析式，即可得點B坐標，根據BC=2OB可求出C點坐標，根據CD//x軸可求出D點坐標，設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，利用待定系數法求出a、b、c的值即可得答案；（2）根據A、D兩點坐標，找出一次函數圖象在二次函數圖象下方的x的取值范圍即可；（3）過D作DM⊥AD，交拋物線于M，過M作MG⊥CD于G，設E（t，t2+2t-3），根據B、C、D三點坐標可得△BCD是等腰直角三角形，進而可證明△DMG是等腰直角三角形，用t表示出DG和MG的長，利用DG=MG列方程求出t的值即可得答案.

（1）∵點A（1，0）在一次函數y=x+m圖象上，

∴1+m=0，

∴m=-1，

∴直線AB的解析式為：y=x-1，

當x=0時，y=-1，

∴點B坐標為：（0，-1），

∴OB=1，

∵為y軸負半軸上一點，且，

∴BC=2，OC=3，

∴點C坐標為：（0，-3），

∵CD//x軸，點D在直線AB上，

∴當y=-3時，x-1=-3，

解得x=-2，

∴點D坐標為：（-2，-3），

設這條拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

∵拋物線結果A、C、D三點，

∴，

解得：，

∴這條拋物線的解析式為：y=x2+2x-3.

（2）∵一次函數值小于二次函數值，

∴一次函數圖象在二次函數圖象下方，

∵一次函數與二次函數交于A（1，0）、D（-2，-3），

∴x<-2或x>1.

（3）如圖，過D作DM⊥AD，交拋物線于M，過M作MG⊥CD于G，設M（t，t2+2t-3），

∵C（0，-3），D（-2，-3），

∴CD=2，

∴BC=CD=2，

∵CD//x軸，

∴∠BCD=90°，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴∠BDC=45°，

∵DM⊥AD，

∴∠ADM=90°，

∴∠CDM=90°-45°=45°，

∵MG⊥CD，

∴△DMG是等腰直角三角形，

∴DG=CG，

∵CD//x軸，C(0，-3)，

∴點G坐標為（t，-3），

∴DG=t+2，MG=-3-（t2+2t-3）=-t2-2t，

∴-t2-2t=t+2，

解得：t=-1或t=-2，

∵t=-2時，點M與點D重合，

∴t=-1，

∴t2+2t-3=-4，

∴點M坐標為（-1，-4），

∴存在一點M，使得為直角，點M的坐標為（-1，-4）.