Question

【題目】如圖，在中，，為邊上的中線,于點(diǎn)

（1）求證：BD·AD=DE·AC.

（2）若AB=13,BC=10,求線段DE的長(zhǎng).

（3）在（2）的條件下，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）先利用等腰三角形的性質(zhì)證明∠B=∠C，AD⊥BC，然后再證明△BDE∽△CAD即可；

（2）利用勾股定理求出AD，再根據(jù)（1）的結(jié)論即可求出DE；

（3）在Rt△BDE中，利用銳角三角函數(shù)求解即可.

解：（1）證明：∵AB=AC， AD為BC邊上的中線，

∴∠B=∠C，AD⊥BC，即∠ADC=90°，

又∵DE⊥AB于點(diǎn)E，即∠DEB=90°，

∴∠ADC=∠DEB，

∴△BDE∽△CAD，

∴，

∴BD·AD=DE·AC；

（2）∵AD為BC邊上的中線，BC=10，

∴BD=CD=5，

在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，

∴AD= ，

由（1）得BD·AD=DE·AC，

又∵AC=AB= 13，

∴5×12=13·DE，

∴DE=；

（3）由（2）知，DE=，BD=5，

∴在Rt△BDE中，.