Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，

（1）CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上，BE的延長線交CA的延長線于M，補全圖形，并探究BE和CD的數量關系，并說明理由；
（2）若BC上有一動點P，且∠BPQ= ∠ACB，BQ⊥PQ于Q，PQ交AB于F，試探究BQ和PF之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，BE= CD，理由是：

∵BE⊥CD，

∴∠BEC=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BEC=∠BAC，

∵∠EDB=∠ADC，

∴∠ABM=∠ACD，

∵AB=AC，∠BAM=∠BAC=90°，

∴△ABM≌△ACD，

∴CD=BM，

∵∠MCE=∠BCE，EC=EC，∠BEC=∠MEC=90°，

∴△MEC≌△BEC，

∴BE=EM，

∴BE= BM= CD

（2）解：如圖2，BQ= PF，理由是：

作∠ACB的平分線，交BQ延長線于E，交AB于D，

由（1）得：BE= CD，

∵∠BPQ= ∠ACB，∠BCE= ∠ACB，

∴∠BPQ=∠BCE，

∴PQ∥CE，

∴ = ， ，

∴ ，

∴ ，

∴BQ= PF

【解析】（1）如圖1，證明△ABM≌△ACD，得CD=BM，再證明△MEC≌△BEC，得BE=EM，則BE= CD；（2）如圖2，根據（1）作輔助線，證明PQ∥EC，得 ，利用（1）的結論BE= CD，得BQ= PF．
【考點精析】利用等腰直角三角形對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°．