Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、C；拋物線y=﹣x2+bx+c經過B、C兩點，并與x軸交于另一點A．

（1）求該拋物線所對應的函數關系式；

（2）設P（x，y）是（1）所得拋物線上的一個動點，過點P作直線l⊥x軸于點M，交直線BC于點N．

①若點P在第一象限內．試問：線段PN的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時x的值；若不存在，請說明理由；

②求以BC為底邊的等腰△BPC的面積．

Answer 1

【答案】（1）所求函數關系式為y=﹣x2+2x+3；

（2）①線段PN的長度的最大值為．

②或，

【解析】

試題（1）利用一次函數與坐標軸坐標求法，得出B、C兩點的坐標，利用待定系數法求出二次函數解析式．

（2）利用二次函數最值求法不難求出，再利用三角形面積之間的關系，可求出等腰△BPC的面積

試題解析：（1）由于直線y=﹣x+3經過B、C兩點，

令y=0得x=3；令x=0，得y=3，

∴B（3，0），C（0，3），

∵點B、C在拋物線y=﹣x2+bx+c上，于是得，

解得b=2，c=3，

∴所求函數關系式為y=﹣x2+2x+3；

（2）①∵點P（x，y）在拋物線y=﹣x2+2x+3上，

且PN⊥x軸，

∴設點P的坐標為（x，﹣x2+2x+3），

同理可設點N的坐標為（x，﹣x+3），

又點P在第一象限，

∴PN=PM﹣NM，

=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3），

=﹣x2+3x，

=—，

∴當時，

線段PN的長度的最大值為．

②解：

由題意知，點P在線段BC的垂直平分線上，

又由①知，OB=OC，

∴BC的中垂線同時也是∠BOC的平分線，

∴設點P的坐標為（a，a），

又點P在拋物線y=﹣x2+2x+3上，于是有a=﹣a2+2a+3，

∴a2﹣a﹣3=0，

解得，，

∴點P的坐標為：或，

若點P的坐標為，此時點P在第一象限，

在Rt△OMP和Rt△BOC中，MP=OM=，

OB=OC=3，

S△BPC=S四邊形BOCP﹣S△BOC=2S△BOP﹣S△BOC，

=，

若點P的坐標為，此時點P在第三象限，

則S△BPC=S△BOP+S△COP+S△BOC=，

=，