Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，G是上一動點，AG，DC的延長線交于點F，連接AC，AD，GC，GD．

（1）求證：∠FGC＝∠AGD；

（2）若AD＝6．

①當AC⊥DG，CG＝2時，求sin∠ADG；

②當四邊形ADCG面積最大時，求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①sin∠ADG＝；②CF＝6．

【解析】

（1）由垂徑定理可得CE＝DE，CD⊥AB，由等腰三角形的性質和圓內接四邊形的性質可得∠FGC＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD；

（2）①如圖，設AC與GD交于點M，證△GMC∽△AMD，設CM＝x，則DM＝3x，在Rt△AMD中，通過勾股定理求出x的值，即可求出AM的長，可求出sin∠ADG的值；

②S四邊形ADCG＝S△ADC+S△ACG，因為點G是上一動點，所以當點G在的中點時，△ACG的的底邊AC上的高最大，此時△ACG的面積最大，四邊形ADCG的面積也最大，分別證∠GAC＝∠GCA，∠F＝∠GCA，推出∠F＝∠GAC，即可得出FC＝AC＝6．

證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，

∴CE＝DE，CD⊥AB，

∴AC＝AD，

∴∠ADC＝∠ACD，

∵四邊形ADCG是圓內接四邊形，

∴∠ADC＝∠FGC，

∵∠AGD＝∠ACD，

∴∠FGC＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD，

∴∠FGC＝∠AGD；

（2）①如圖，設AC與GD交于點M，

∵，

∴∠GCM＝∠ADM，

又∵∠GMC＝∠AMD，

∴△GMC∽△AMD，

∴＝＝＝，

設CM＝x，則DM＝3x，

由（1）知，AC＝AD，

∴AC＝6，AM＝6﹣x，

在Rt△AMD中，

AM2+DM2＝AD2，

∴（6﹣x）2+（3x）2＝62，

解得，x1＝0（舍去），x2＝，

∴AM＝6﹣＝，

∴sin∠ADG＝＝＝；

②S四邊形ADCG＝S△ADC+S△ACG，

∵點G是上一動點，

∴當點G在的中點時，△ACG的底邊AC上的高最大，此時△ACG的面積最大，四邊形ADCG的面積也最大，∴GA＝GC，

∴∠GAC＝∠GCA，

∵∠GCD＝∠F+∠FGC，

由（1）知，∠FGC＝∠ACD，且∠GCD＝∠ACD+∠GCA，

∴∠F＝∠GCA，

∴∠F＝∠GAC，

∴FC＝AC＝6．