Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，作OD∥BC與過點A的切線交于點D，連接DC并延長交AB的延長線于點E．
（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若AE=6，CE=2 ． ①求⊙O的半徑
②求線段CE，BE與劣弧 所圍成的圖形的面積（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】
（1）解：連結OC，如圖，

∵AD為⊙O的切線，

∴AD⊥AB，

∴∠BAD=90°，

∵OD∥BC，

∴∠1=∠3，∠2=∠4，

∵OB=OC，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

在△OCD和△OAD中， ，

∴△AOD≌△COD（SAS）；

∴∠OCD=∠OAD=90°，

∴OC⊥DE，

∴DE是⊙O的切線

（2）解：①設半徑為r，則OE=AE﹣OA=6﹣r，OC=r，

在Rt△OCE中，∵OC2+CE2=OE2，

∴r2+（2 ）2=（6﹣r）2，解得r=2，

②∵tan∠COE= = = ，

∴∠COE=60°，

∴S陰影部分=S△COE﹣S扇形BOC

= ×2×2 ﹣

=2 ﹣ π

【解析】（1）連結OC，如圖，先根據切線的性質得∠BAD=90°，再根據平行線的性質，由OD∥BC得∠1=∠3，∠2=∠4，加上∠3=∠4，則∠1=∠2，接著證明△AOD≌△COD，得到∠OCD=∠OAD=90°，于是可根據切線的判定定理得到DE是⊙O的切線；（2）①設半徑為r，則OE=AE﹣OA=6﹣r，OC=r，在Rt△OCE中利用勾股定理得到r2+（2 ）2=（6﹣r）2 ， 解得r；②利用正切函數求出∠COE=60°，然后根據扇形面積公式和S陰影部分=S△COE﹣S扇形BOC進行計算即可．
【考點精析】掌握三角形的外接圓與外心和切線的性質定理是解答本題的根本，需要知道過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．