Question

【題目】探索與證明：（1）如圖1，直線m經過正三角形ABC的頂點A，在直線m上取兩點 D，E，使得∠ADB=60°，∠AEC=60°．通過觀察或測量，猜想線段BD，CE與DE之間滿足的數量關系，并予以證明；

（2）將（1）中的直線m繞點A逆時針方向旋轉一個角度到如圖2的位置，并使∠ADB=120°，∠AEC=120°．通過觀察或測量，請直接寫出線段BD，CE與DE之間滿足的數量關系．

Answer 1

【答案】(1)BD+CE=DE，證明見解析；（2）BD+DE=CE

【解析】試題分析：（1）通過證明△DAB≌△ECA（AAS），得出AD=CE，BD=AE，進而證得BD+CE= DE：

（2）通過△DAB≌△ECA（AAS），得出AD=CE，BD=AE，從而證得CE-BD=DE．

解：(1)猜想：BD+CE=DE.

證明：由已知條件可知：

∠DAB+∠CAE=120°,∠ECA+∠CAE=120°，

∴∠DAB=∠ECA.

在△DAB和△ECA中,

，

∴△DAB≌△ECA(AAS).

∴AD=CE，BD=AE.

∴BD+CE=AE+AD=DE.

(2)猜想：CEBD=DE.

證明：由已知條件可知：

∠DAB+∠CAE=60°,∠ECA+∠CAE=60°，

∴∠DAB=∠ECA.

在△DAB和△ECA中,

，

∴△DAB≌△ECA(AAS).

∴AD=CE，BD=AE.

∴CEBD=ADAE=DE.