Question

【題目】（1）發現

如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點D在BC邊上，連接CE．

填空：

①∠DCE的度數是　 ；

②線段CA、CE、CD之間的數量關系是　 　．

（2）探究

如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點D在BC邊上，連接CE．請判斷∠DCE的度數及線段CA、CE、CD之間的數量關系，并說明理由．

（3）應用

如圖3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝6．若點D滿足DB＝DC，且∠BDC＝90°，請直接寫出DA的長．

Answer 1

【答案】（1）①120°，②CA＝CE+CD；（2）∠DCE＝90°；CA＝CD+CE．理由見解析；（3）DA＝5或．

【解析】

（1）①證△BAD≌△CAE，從而得出∠ACE＝∠B＝60°，進而得出∠DCE的大小；

②根據△BAD≌△CAE可知BD＝CE，從而得出CA＝CE+CD；

（2）先證△BAD≌△CAE，得出BD＝CE，然后在等腰直角三角形ABC中，得出CB＝CA，從而得出CA、CE、CD之間的數量關系；

（3）如下圖，先證點B，C，A，D四點共圓，得出△ADE是等腰直角三角形，最后在Rt△BED中，利用勾股定理可求得．

（1）發現

解：①∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴∠BAC＝∠DAE＝60°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE(SAS)，

∴∠ACE＝∠B＝60°，

∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；

故答案為：120°，

②∵△BAD≌△CAE，

∴BD＝CE，

∴BC＝BD+CD＝EC+CD，

∴CA＝BC＝CE+CD；

故答案為：CA＝CE+CD．

（2）探究

∠DCE＝90°；CA＝CD+CE．

理由：∵△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE．

∴△BAD≌△CAE(SAS)．

∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°．

∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°．

在等腰直角三角形ABC中，CB＝CA，

∵CB＝CD+DB＝CD+CE，

∴CA＝CD+CE．

（3）應用

DA＝5或．

作DE⊥AB于E，連接AD，

∵在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝90°，

∴BC＝＝＝2，

∵∠BDC＝90°，DB＝DC，

∴DB＝DC＝，∠BCD＝∠CBD＝45°，

∵∠BDC＝∠BAC＝90°，

∴點B，C，A，D四點共圓，

∴∠DAE＝45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AE＝DE，

∴BE＝6﹣DE，

∵BE2+DE2＝BD2，

∴DE2+(6﹣DE)2＝26，

∴DE＝1，DE＝5，

∴AD＝或AD＝5．