Question

【題目】如圖，O為正方形ABCD對角線的交點，E為AB邊上一點，F為BC邊上一點，△EBF的周長等于BC的長．

（1）若AB=12，BE=3，求EF的長；

（2）求∠EOF的度數；

（3）若OE=OF，求的值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）45°；（3）

【解析】

（1）設BF=x，則FC=12-x，根據△EBF的周長等于BC的長得出EF=9-x，Rt△BEF中利用勾股定理求出x的值即可得；（2）在FC上截取FM=FE，連接OM．首先證明∠EOM=90°，再證明△OFE≌△OFM（SSS）即可解決問題；（3）證明∠FOC=∠AEO，結合∠EAO=∠OCF=45°可證△AOE∽△CFO得 ，推出AE=OC，AO=CF，由AO=CO，可得AE=×CF=CF，進而求解．

（1）設BF=x，則FC=BC﹣BF=12﹣x，

∵BE=3，且BE+BF+EF=BC，

∴EF=9﹣x，

在Rt△BEF中，由BE2+BF2=EF2可得32+x2=（9﹣x）2，

解得：x=4，

則EF=9﹣x=5；

（2）如圖，在FC上截取FM=FE，連接OM，

∵C△EBF的周長=BE+EF+BF=BC，則BE+EF+BF=BF+FM+MC，

∴BE=MC，

∵O為正方形中心，

∴OB=OC，∠OBE=∠OCM=45°，

在△OBE和△OCM中，

∵，

∴△OBE≌△OCM，

∴∠EOB=∠MOC，OE=OM，

∴∠EOB+∠BOM=∠MOC+∠BOM，即∠EOM=∠BOC=90°，

在△OFE與△OFM中，

∵，

∴△OFE≌△OFM（SSS），

∴∠EOF=∠MOF=∠EOM=45°．

（3）證明：由（2）可知：∠EOF=45°，

∴∠AOE+∠FOC=135°，

∵∠EAO=45°，

∴∠AOE+∠AEO=135°，

∴∠FOC=∠AEO，

∵∠EAO=∠OCF=45°，

∴△AOE∽△CFO．

∴，

∴AE=OC，AO=CF，

∵AO=CO，

∴AE=×CF=CF，

∴=．