Question

【題目】分別以□ABCD（∠CDA≠90°）的三邊AB，CD，DA為斜邊作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．
（1）如圖1，當三個等腰直角三角形都在該平行四邊形外部時，連接GF，EF．請判斷GF與EF的關系（只寫結論，不需證明）；
（2）如圖2，當三個等腰直角三角形都在該平行四邊形內部時，連接GF，EF，（1）中結論還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）GF⊥EF，GF=EF。

（2）GF⊥EF，GF=EF成立。理由如下：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°。

∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，

∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°

∴∠BAE+∠FDA+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°。∴∠EAF+∠CDF=45°。

∵∠CDF+∠GDF=45°，∴∠FDG=∠EAF。

∵在△EAF和△GDF中， ，∴△EAF≌△GDF（SAS）。

∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA。

∴∠GFE=90°。∴GF⊥EF。

【解析】試題分析：根據等腰直角三角形的性質和平行四邊形的性質來證明△FDG和△FAE全等，從而得到FG=EF，∠DFG=∠AFE，根據∠DFA=90°得出∠GFE=90°，即EF⊥FG.

試題解析：（1）答：在圖1中，GF=EF且GE⊥EF

(2)、∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB=DC，且AB∥DC． 又∵△ABE、△CDG是等腰三角形

∴AE=BE=DG=CG，∠CDG=∠BAE=45°

又∵△AFD是等腰三角形，

∴AF=DF，∠FDA=∠DAF=45°，∠AFD=90°

又∵AB∥DC ∴∠CDA+∠DAB=180°

又∵∠CDA=90°-∠FDG；∠DAB=90°+∠FAE

∴90°-∠FDG+90°+∠FAE=180°

∴∠FDG=∠FAE

∴△FDG≌△FAE（SAS）．

∴FG=FE，∠DFG=∠AFE

又∵∠DFG+∠GFA=90°，

∴∠AFE+∠GFA=90°．

∴EE⊥GF