Question

【題目】如圖，在等邊 中， ， ， 分別是 ， ， 上的點， ， ， ，則 的面積與 的面積之比等于（ ）

A.1∶3
B.2∶3
C. ∶2
D. ∶3

Answer 1

【答案】A
【解析】∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，

∴∠C+∠EDC=90°，∠FDE+∠EDC=90°，

∴∠C=∠FDE，

同理可得：∠B=∠DFE，∠A=DEF，

∴△DEF∽△CAB，

∴△DEF與△ABC的面積之比= ，

又∵△ABC為正三角形，

∴∠B=∠C=∠A=60°

∴△EFD是等邊三角形，

∴EF=DE=DF，

又∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，

∴△AEF≌△CDE≌△BFD，

∴BF=AE=CD，AF=BD=EC，

在Rt△DEC中，

DE=DC×sin∠C= DC，EC=cos∠C×DC= DC，

又∵DC+BD=BC=AC= DC，

∴ ，

∴△DEF與△ABC的面積之比等于：

所以答案是：A．

【考點精析】掌握相似三角形的判定與性質和解直角三角形是解答本題的根本，需要知道相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．