Question

【題目】已知二次函數y=ax2－4ax+a2+2（a＜0）圖像的頂點G在直線AB上，其中A（，0）、B（0，3），

對稱軸與x軸交于點E．

（1）求二次函數y=ax2－4ax+a2+2的關系式；

（2）點P在對稱軸右側的拋物線上，且AP平分四邊形GAEP的面積，求點P坐標；

（3）在x軸上方，是否存在整數m，使得當＜ x ≤時，拋物線y隨x增大而增大，若存在，求出所有滿足條件的m值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函數關系式為y=－x2+4x+3；

（2）P（， ），

（3）m取－2、－1

【解析】解（1）由A（－，0）、B（0，3），可設直線AB：y=kx+3，

從而得，k=2, ∴y=2x+3，

拋物線y=ax2－4ax+a2+2的頂點G（2，a2－4a+2）,

點G在直線AB上，∴ a2－4a+2=4+3，∴a=－1，a=5（舍去）,

二次函數關系式為y=－x2+4x+3.

（2）∵AP平分四邊形GAEP的面積， ∴2S△AEP=S四邊形GAEP，

設P（t，－t2+4t+3），

∴ 2×（2+）（－t2+4t+3）=×7×（2+）+×7×（t－2）

∴ 2t2－6 t－3=0，∴t1=， t2=（舍去）∴P（， ），

（3）拋物線與x軸交點C（2－，0），D（2+，0），

在x軸上方，拋物線y隨x增大而減大，則2－＜x≤2,

又∵＜ x≤,

∴，得：4－3≤m≤－,

∵整數m為整數，∴m為－3，－2、－1．

又∵＜，m＞－．

∴m取－2、－1.