Question

如圖，已知拋物線y=（

1

2

sin45°）x²-2x+n過原點O和x軸上另一點C，它的頂點為B，四邊形AOBC是菱形，動點P、Q同時從O點出發，P沿折線OACB運動，Q沿折線OBCA運動．
（1）求出點A、點B的坐標，并求出菱形AOBC的邊長；
（2）若點Q的運動速度是點P運動速度的3倍，點Q第一次運動到BC上，連接PQ交AB于點R，當AR=3

2

時，求直線PQ的解析式；
（3）若點P的運動速度是每秒2個單位長，點Q的運動速度是每秒3個單位長，運動到第一次相遇時停止．設△OPQ的面積為S，運動的時間為t，求這個運動過程中S與t之間的函數關系式，并寫出當t為何值時，△OPQ的面積最大．

Answer 1

分析：（1）先將原點（0，0）代入拋物線的解析式y=（

1

2

sin45°）x²-2x+n中，求出n的值，再利用配方法寫成頂點式，得到頂點B的坐標，然后根據菱形的性質，可知菱形AOBC的頂點A與頂點B關于x軸對稱，從而求出點A的坐標，最后根據兩點間的距離公式即可得到菱形AOBC的邊長；
（2）設點P的運動速度為每秒v個單位長，t秒后點Q運動到邊BC上，則可用含vt的代數式分別表示AP，BQ，再證明△ARP∽△BRQ，根據相似三角形對應邊成比例求出vt=

8

5

，從而得到點P和點Q的坐標，然后根據待定系數法即可求出直線PQ的解析式；
（3）根據題意，首先求出點P與點Q相遇的時間為

16

5

秒，得出此時點P與點Q在AC上相遇，再分四種情況進行討論：①0≤t≤

4

3

；②

4

3

＜t≤2，③2＜t≤

8

3

，④

8

3

＜t≤

16

5

．針對每一種情況，都需先判斷點P與點Q所在的位置，再根據面積公式求出S與t之間的函數關系式，然后根據函數的性質，求出最大值．

解答：解：（1）∵拋物線y=（

1

2

sin45°）x²-2x+n過原點O，
∴n=0，
∴拋物線的解析式為y=

2

4

x²-2x．
∵y=

2

4

x²-2x=

2

4

（x-2

2

）²-2

2

，且頂點為B，
∴點B的坐標為（2

2

，-2

2

），
∵四邊形AOBC是菱形，
∴點A與點B關于x軸對稱，
∴點A的坐標為（2

2

，2

2

），
∴菱形AOBC的邊長=

(2 2 )2+(2 2 )2

=4；

（2）在y=

2

4

x²-2x中，令y=0，得

2

4

x²-2x=0，
解得x₁=0，x₂=4

2

，則C（4

2

，0）．
∵OC=AB=4

2

，
∴菱形AOBC是正方形，
∴∠AOC=∠ABC=45°．
如圖，設點P的運動速度為每秒v個單位長，t秒后點Q運動到邊BC上．
∴OP=vt，OB+BQ=3vt，
∴AP=4-vt，BQ=3vt-4，
∵AR=3

2

，∴BR=

2

，
∵AP∥BQ，∴△ARP∽△BRQ，
∴

AR

BR

=

AP

BQ

，∴

4-vt

3vt-4

=

3 2

2

，
解得：vt=

8

5

，
∴OP=

8

5

，P（

4 2

5

，

4 2

5

），
BQ=

4

5

，Q（

12 2

5

，-

8 2

5

）．
設PQ的解析式為y=kx+b，由題意，
得：

4 2 5 k+b= 4 2 5 12 2 5 k+b=- 8 2 5

，
解得

k=- 3 2 b=2 2

，
∴PQ的解析式為：y=-

3

2

x+2

2

；

（3）∵點P的運動速度是每秒2個單位長，點Q的運動速度是每秒3個單位長，
∴點P與點Q相遇的時間為：

16

5

秒，此時點P與點Q在AC上．
分四種情況：
①當0≤t≤

4

3

時，點Q在OB上，點P在OA上，如圖．
∵OP=2t，OQ=3t，∠POQ=90°，
∴S=

1

2

OP•OQ=

1

2

×2t×3t=3t²，
∵3＞0，拋物線開口向上，對稱軸為t=0，
∴在對稱軸的右側，S隨t的增大而增大，
∴當t=

4

3

時，S有最大值，此時S=3×

16

9

=

16

3

；
②當

4

3

＜t≤2時，點Q在BC上，點P在OA上，如圖．
∵OP=2t，
∴S=

1

2

OP•OB=

1

2

×2t×4=4t，
∵4＞0，
∴S隨t的增大而增大，
∴當t=2時，S有最大值，此時S=4×2=8；
③當2＜t≤

8

3

時，點Q在BC上，點P在AC上，如圖．
∵OA+AP=2t，OB+BQ=3t，
∴AP=2t-4，BQ=3t-4，
∴PC=8-2t，CQ=8-3t，
∴S=S_{正方形OACB}-S_△OAP-S_△OBQ-S_△PCQ
=16-

1

2

×4×（2t-4）-

1

2

×4×（3t-4）-

1

2

×（8-2t）×（8-3t）
=-3t²+10t，
∵-3＜0，拋物線開口向下，對稱軸為t=

-10

-6

=

5

3

，
∴在對稱軸的右側，S隨t的增大而減小，
∴當2＜t≤

8

3

時，S無最大值；
④當

8

3

＜t≤

16

5

時，點Q與點P都在AC上，如圖．
∵OA+AP=2t，OB+BC+CQ=3t，
∴AP=2t-4，CQ=3t-8，
∴PQ=AC-AP-CQ=4-（2t-4）-（3t-8）=16-5t，
∴S=

1

2

PQ•OA=

1

2

×（16-5t）×4=32-10t，
∵-10＜0，
∴S隨t的增大而減小，
∴當

8

3

＜t≤

16

5

時，S無最大值．
綜上可知，S與t之間的函數關系式為：S=

3t2(0≤t≤ 4 3 ) 4t( 4 3 ＜t≤2) -3t2+10t(2＜t≤ 8 3 ) 32-10t( 8 3 ＜t≤ 16 5 )

，當t為2時，△OPQ的面積最大，最大值為8．

點評：本題主要考查了待定系數法求函數的解析式，菱形的性質，正方形的判定及性質，相似三角形的判定與性質，三角形的面積的計算，函數最值的求法，綜合性較強，難度較大，其中（3）能夠根據點P與點Q的運動速度和方向，以及正方形的邊長對t的值進行分類討論是解題的關鍵和難點．