Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系第一象限內，直線y=x與直線y=2x的內部作等腰Rt△ABC，是∠ABC=90°，邊BC∥x軸，AB∥y軸，點A（1，1）在直線y=x上，點C在直線y=2x上：CB的延長線交直線y=x于點A1，作等腰Rt△A1B1C1，是∠A1B1C1=90°，B1C1∥x軸，A1B1∥y軸，點C1在直線y=2x上…按此規律，則等腰Rt△AnBnCn的腰長為______．

Answer 1

【答案】

【解析】設AB=a，

∵直線y=x與直線y=2x的內部作等腰Rt△ABC，是∠ABC=90°，邊BC∥x軸，AB∥y軸，點A（1，1）在直線y=x上，

∴C（，1﹣a，1+a），

∵點C在直線y=2x上，

∴1+a=2（1﹣a），

解得a=，

∴等腰Rt△ABC的腰長為，

∴C（， ），

∴A1的坐標為（， ），

設A1B1=b，則C1（﹣b， +b），

∵點C1在直線y=2x上，

∴+b=2（﹣b）

解得b=，

∴等腰Rt△A1B1C1的腰長為

∴C1（， ）

∴A2（， ），

設A2B2=c，則C2（﹣c， +c），

∵點C2在直線y=2x上，

∴+c=2（﹣c），

解得c=，

∴等腰Rt△A2B2C2的腰長為，

以此類推，

A3B3=，即等腰Rt△A3B3C3的腰長為，

A4B4=，即等腰Rt△A4B4C4的腰長為，

…

∴AnBn=，等腰Rt△AnBnCn的腰長為.