Question

【題目】如圖1所示，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（5，0）兩點，與y軸交于C點，D為拋物線的頂點，E為拋物線上一點，且C、E關于拋物線的對稱軸對稱，分別作直線AE、DE．

（1）求此二次函數的關系式；

（2）在圖1中，直線DE上有一點Q，使得△QCO≌△QBO，求點Q的坐標；

（3）如圖2，直線DE與x軸交于點F，點M為線段AF上一個動點，有A向F運動，速度為每秒2個單位長度，運動到F處停止，點N由F處出發，沿射線FE方向運動，速度為每秒 個單位長度，M、N兩點同時出發，運動時間為t秒，當M停止時點N同時停止運動坐標平面內有一個動點P，t為何值時，以P、M、N、F為頂點的四邊形是特殊的平行四邊形．請直接寫出t值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為 y=﹣x2+4x+5；（2）Q點的坐標為（， ）；（3）t的值為或或或或．

【解析】試題分析：（1）直接利用交點式寫出拋物線的解析式；

（2）如圖1，利用配方法得到D（2，9），拋物線的對稱軸為直線x=2，再確定C（0，5），則E（4，5），接著利用待定系數法求出直線DE的解析式為y=﹣2x+13，然后根據全等三角形的性質得到∠COQ=∠BOQ，所以點Q為第一象限角平分線上的點，最后解方程組 得Q點的坐標；

（3）如圖2，對稱軸交x軸于點H，先確定DH=9，FH=，DF=，AF=，AM=2t，FN=t，則FM=﹣2t，分類討論：當以P、M、N、F為頂點的四邊形是菱形，且FM、FN為菱形的兩鄰邊，則FN=FM，即t=﹣2t；當以P、M、N、F為頂點的四邊形是菱形，且FN為菱形對角線，連接MP交FN于Q，利用菱形的性質得FQ=t，再通過得△FQH∽△FHD得到t： =（﹣2t）： ；當以P、M、N、F為頂點的四邊形是菱形，且FM為菱形對角線，NP與MF相交于K，如圖3，利用菱形的性質得FK=（﹣2t），再通過△FKN∽△FHD得到（﹣2t）： =t： ；當以P、M、N、F為頂點的四邊形是矩形，且∠NMF=90°，通過△FMN∽△FHD得到（﹣2t）： =t： ；當以P、M、N、F為頂點的四邊形是矩形，且∠MNF=90°，通過△FNM∽△FHD得到（﹣2t）： =t： ，然后分別解關于t的方程可確定滿足條件的t的值．

試題解析：（1）拋物線的解析式為y=﹣（x+1）（x﹣5），即y=﹣x2+4x+5；

（2）如圖1，y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，則D（2，9），拋物線的對稱軸為直線x=2，

當x=0時，y=﹣x2+4x+5=5，則C（0，5），

∵C、E關于拋物線的對稱軸對稱，

∴E（4，5），

設直線DE的解析式為y=mx+n，

把D（2，9），E（4，5）代入得 ，解得 ，

∴直線DE的解析式為y=﹣2x+13，

∵△QCO≌△QBO，

∴∠COQ=∠BOQ，

∴點Q為第一象限角平分線上的點，

即OQ的解析式為y=x，

解方程組，解得 ，

∴Q點的坐標為（， ）；

（3）如圖2，對稱軸交x軸于點H，DH=9，FH=，DF=，

當y=0時，﹣2x+13=0，解得x=，則F（，0），

∴AF=﹣（﹣1）=，

AM=2t，FN=t，則FM=﹣2t，

當以P、M、N、F為頂點的四邊形是菱形，且FM、FN為菱形的兩鄰邊，則FN=FM，即t=﹣2t，解得t=；

當以P、M、N、F為頂點的四邊形是菱形，且FN為菱形對角線，連接MP交FN于Q，則PM與NQ互相垂直平分，FQ=t，

易得△FQH∽△FHD，

∴FQ：FH=FM：FD，即t： =（﹣2t）： ，解得t=；

當以P、M、N、F為頂點的四邊形是菱形，且FM為菱形對角線，NP與MF相交于K，如圖3，則MF與NP互相垂直平分，FK=MF=（﹣2t），

易得△FKN∽△FHD，

∴FK：FH=FN：FD，即（﹣2t）： =t： ，解得t=；

當以P、M、N、F為頂點的四邊形是矩形，且∠NMF=90°，

易得△FMN∽△FHD，

∴FM：FH=FN：FD，即（﹣2t）： =t： ，解得t=；

當以P、M、N、F為頂點的四邊形是矩形，且∠MNF=90°，

易得△FNM∽△FHD，

∴FM：FD=FN：FH，即（﹣2t）： =t： ，解得t=，

綜上所述，t的值為或或或或．