Question

【題目】如圖，已知長方形OABC的頂點O在坐標原點，A、C分別在x、y軸的正半軸上，頂點B（8，6），直線y=-x+b經過點A交BC于D、交y軸于點M，點P是AD的中點，直線OP交AB于點E

（1）求點D的坐標及直線OP的解析式；

（2）求△ODP的面積，并在直線AD上找一點N，使△AEN的面積等于△ODP的面積，請求出點N的坐標

（3）在x軸上有一點T（t，0）（5＜t＜8），過點T作x軸的垂線，分別交直線OE、AD于點F、G，在線段AE上是否存在一點Q，使得△FGQ為等腰直角三角形，若存在，請求出點Q的坐標及相應的t的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）點D的坐標為（2，6）．直線OP的解析式為y=x．（2）點N的坐標為（3，5）或（13，-5）．（3）在線段AE上存在一點Q，使得△FGQ為等腰直角三角形，當t=時點Q的坐標為（8，）或（8，），當t=時點Q的坐標為（8，）．

【解析】

（1）根據長方形的性質可得出點A的坐標，利用待定系數法可求出直線AD的解析式，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點D的坐標，再由點P是AD的中點可得出點P的坐標，進而可得出正比例函數OP的解析式；

（2）利用三角形面積的公式可求出S△ODP的值，由直線OP的解析式，利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出點E的坐標，設點N的坐標為（m，-m+8），由△AEN的面積等于△ODP的面積，可得出關于m的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出m的值，再將其代入點N的坐標中即可得出結論；

（3）由點T的坐標可得出點F，G的坐標，分∠FGQ=90°、∠GFQ=90°及∠FQG=90°三種情況考慮：①當∠FGQ=90°時，根據等腰直角三角形兩直角邊相等可得出關于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性質可得出點Q的坐標；②當∠GFQ=90°時，根據等腰直角三角形兩直角邊相等可得出關于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性質可得出點Q的坐標；③當∠FQG=90°時，過點Q作QS⊥FG于點S，根據等腰直角三角形斜邊等于斜邊上高的二倍可得出關于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性質可得出點Q的坐標．綜上，此題得解．

（1）∵四邊形OABC為長方形，點B的坐標為（8，6），

∴點A的坐標為（8，0），BC∥x軸．

∵直線y=-x+b經過點A，

∴0=-8+b，

∴b=8，

∴直線AD的解析式為y=-x+8．

當y=6時，有-x+8=6，

解得：x=2，

∴點D的坐標為（2，6）．

∵點P是AD的中點，

∴點P的坐標為（，），即（5，3），

∴直線OP的解析式為y=x．

（2）S△ODP=S△ODA-S△OPA，

=×8×6-×8×3，

=12．

當x=8時，y=x=，

∴點E的坐標為（8，）．

設點N的坐標為（m，-m+8）．

∵S△AEN=S△ODP，

∴××|8-m|=12，

解得：m=3或m=13，

∴點N的坐標為（3，5）或（13，-5）．

（3）∵點T的坐標為（t，0）（5＜t＜8），

∴點F的坐標為（t，t），點G的坐標為（t，-t+8）．

分三種情況考慮：

①當∠FGQ=90°時，如圖1所示．

∵△FGQ為等腰直角三角形，

∴FG=GQ，即t-（-t+8）=8-t，

解得：t=，

此時點Q的坐標為（8，）；

②當∠GFQ=90°時，如圖2所示．

∵△FGQ為等腰直角三角形，

∴FG=FQ，即t-（-t+8）=8-t，

解得：t=，

此時點Q的坐標為（8，）；

③當∠FQG=90°時，過點Q作QS⊥FG于點S，如圖3所示．

∵△FGQ為等腰直角三角形，

∴FG=2QS，即t-（-t+8）=2（8-t），

解得：t=，

此時點F的坐標為（，4），點G的坐標為（，）

此時點Q的坐標為（8，）.

綜上所述：在線段AE上存在一點Q，使得△FGQ為等腰直角三角形，當t=時點Q的坐標為（8，）或（8，），當t=時點Q的坐標為（8，）．