Question

【題目】鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個菱形，余下一個四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又余下一個四邊形，稱為第二次操作；……依次類推，若第次操作余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為階準菱形，如圖1，□為1階準菱形.

（1）猜想與計算

鄰邊長分別為3和5的平行四邊形是 階準菱形；已知□的鄰邊長分別為（），滿足，，請寫出□是 階準菱形.

（2）操作與推理

小明為了剪去一個菱形，進行如下操作：如圖2，把□沿折疊（點在上），使點落在邊上的點處，得到四邊形.請證明四邊形是菱形.

Answer 1

【答案】（1）3，12（2）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）利用平行四邊形準菱形的意義即可得出結論；

（2）先判斷出∠AEB=∠ABE，進而判斷出AE=BF，即可得出結論．

試題解析：（1）如圖1，

利用鄰邊長分別為3和5的平行四邊形進行3次操作，所剩四邊形是邊長為1的菱形，

故鄰邊長分別為3和5的平行四邊形是3階準菱形：

如圖2，

∵b=5r，

∴a=8b+r=40r+r=8×5r+r，

利用鄰邊長分別為41r和5r的平行四邊形進行8+4=12次操作，所剩四邊形是邊長為1的菱形，

故鄰邊長分別為41r和5r的平行四邊形是12階準菱形：

故答案為：3，12

（2）由折疊知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AE∥BF，

∴∠AEB=∠FBE，

∴∠AEB=∠ABE，

∴AE=AB，

∴AE=BF，

∴四邊形ABFE是平行四邊形，

∴四邊形ABFE是菱形