Question

【題目】如圖①，B，C，E是同一直線上的三個點， 四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形．連接BG，DE.

(1)探究BG與DE之間的數量關系， 并證明你的結論；

(2)當正方形CEFG繞點C在平面內順時針轉動到如圖②所示的位置時，線段BG和ED有何關系? 寫出結論并證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）猜想BG⊥BD，且BG=DE，延長BG與DE交于H點，用SAS證明△BCG≌△DCE，得出BG=DE，∠CBG=∠CDE，再證明∠DHG=90°，即可得出結論；

（2）用SAS證明△BCG≌△DCE，得出BG=DE，∠CBG=∠CDE，再根據對頂角相等和直角三角形兩銳角互余，通過等量代換即可得出結論．

（1）猜想：BG⊥BD，且BG=DE．證明如下：

延長BG與DE交于H點．

∵ABCD和CEFG都是正方形，

∴BC=DC，GC=EC，∠BCG=∠DCE=90°．

在△BCG和△DCE中，∵BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，GC=EC，

∴△BCG≌△DCE，

∴∠BGC=∠DEC，BG=DE．

又∵∠BGC=∠DGH，∠DEC+∠CDE=90°，

∴∠DGH+∠GDH=90°，

∴∠DHG=90°，

故BG⊥DE，且BG=DE．

（2）BG=DE，BG⊥DE．證明如下：

∵四邊形ABCD、CEFG都是正方形，

∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG，

∴∠BCG=∠DCE，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴BG=DE，∠CBG=∠CDE．

又∵∠BPC=∠DPO，∠CBG+∠BPC=90°，

∴∠CDE+∠DPO=90°，

∴∠DOP=90°，

∴BG⊥DE，

∴BG=DE，BG⊥DE．