Question

【題目】如圖，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，∠DCE＝120°，當(dāng)∠DCE的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點(diǎn)D、E．

（1）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），請猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）由（圖1）的位置將∠DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角（0＜θ＜90°），線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）OE+OD＝OC，見解析；（2）OD+OE＝OC或OE﹣OD＝OC，見解析

【解析】

（1）先判斷出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函數(shù)得出OD＝OE＝OC，即可得出結(jié)論；

（2）分兩種情況畫圖，同（1）的方法得OF+OG＝OC，再判斷出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代換即可得出結(jié)論．

解：（1）OE+OD＝OC．理由如下：

∵OM是∠AOB的平分線，

∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝30°，

∵CD⊥OA，∴∠ODC＝90°

∴∠OCD＝60°

∴∠OCE＝∠DCE﹣∠OCD＝60°，

在Rt△OCD中，OD＝OCcos30°＝OC，

同理：OE＝OC，

∴OD+OE＝OC；

（2）OD+OE＝OC或OE﹣OD＝OC．理由如下：

①如備用圖1，過點(diǎn)C作CF⊥OA于點(diǎn)F，CG⊥OB于點(diǎn)G，

∴∠OFC＝∠OGC＝90°

∵∠AOB＝60°，

∴∠FCG＝120°，

同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，

∴OF+OG＝OC，

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C在∠AOB的平分線上，

∴CF＝CG，

∵∠DCE＝∠FCG＝120°，

∴∠DCF＝∠ECG，

∴△CFD≌△CGE（ASA）

∴DF＝EG，

∴OF＝OD+DF＝span>OD+EG，OG＝OE﹣GE，

∴OF+OG＝OD+OE，

∴OD+OE＝OC；

②如備用圖2，過點(diǎn)C作CF⊥OA于點(diǎn)F，CG⊥OB于點(diǎn)G，

∴∠OFC＝∠OGC＝90°

∵∠AOB＝60°，

∴∠FCG＝120°，

同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，

∴OF+OG＝OC，

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C在∠AOB的平分線上，

∴CF＝CG，

∵∠DCE＝∠FCG＝120°，

∴∠DCF＝∠ECG，

∴△CFD≌△CGE（ASA）

∴DF＝EG，

∴OF＝DF﹣OD＝EG﹣OD，OG＝OE﹣GE，

∴OF+OG＝OE﹣OD，

∴OE﹣OD＝OC；

綜上所述：線段OD、OE與OC之間的數(shù)量關(guān)系為：OD+OE＝OC或OE﹣OD＝OC．