Question

【題目】隨著新農村的建設和舊城的改造，我們的家園越來越美麗，小明家附近廣場中央新修了個圓形噴水池，在水池中心豎直安裝了一根高為2米的噴水管，它噴出的拋物線形水柱在與水池中心的水平距離為1米處達到最高，水柱落地處離池中心3米．

（1）請你建立適當的平面直角坐標系，并求出水柱拋物線的函數解析式；
（2）求出水柱的最大高度的多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，以水管與地面交點為原點，原點與水柱落地點所在直線為x軸，水管所在直線為y軸，建立平面直角坐標系.

由題意可設拋物線的函數解析式為y=a(x-1)2+h(0≤x≤3)

拋物線過點（0，2）和（3，0），代入拋物線解析式得：

解得：

所以，拋物線的解析式為：y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)，

化為一般形式為：y=- （0≤x≤3）

（2）解：由（1）知拋物線的解析式為y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)，

當x=1時，y= ,

所以，拋物線水柱的最大高度為 m.

【解析】（1）坐標原點可設在特殊位置，以水管與地面交點為原點，原點與水柱落地點所在直線為x軸，水管所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，設拋物線的解析式可設成頂點式，，代入（0，2）和（3，0）得出方程組，解方程組即可；（2）最值問題，可運用配方法，在自變量的取值范圍內，頂點的縱坐標就是最大值，求出當x=1時，y=.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的最值的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．