Question

24、如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O．
（1）設AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ、以下五個結論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的結論有

①②③⑤

（把你認為正確的序號都填上）
（2）在你認為恒成立的結論中選一個加以證明．

Answer 1

分析：根據等邊三角形的性質及全等三角形的判定定理進行逐一判斷即可．
①根據等邊三角形三邊相等及三角形內角和外角的關系求出△ACD≌△BCE，再根據全等三角形的性質解答即可；
②根據，△ABC為等邊三角形及△ACP≌△BCQ可求出△PCQ為等邊三角形，再根據平行線的判定定理即可解答；
③根據PQ∥AE可求出△APC≌△BPQ，再根據全等三角形的性質即可解答；
④根據在同一三角形中等邊對等角解答；
⑤根據等邊三角形的性質及三角形內角和定理解答．

解答：解：①正確，∵△ABC與△DCE為等邊三角形，
∴CD=CE，AC=BC，∠ACD=∠BCE=120°，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
②正確，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，
又∵∠BCD=180°-∠ACB-∠DCE=180°-60°-60°=60°，
又∵△ACD≌△BCE，
∴∠DAE=∠CBE，
∴△ACP≌△BCQ，
∴PC=CQ，
∴△PCQ為等邊三角形，
∴∠PQC=∠QCE=60°
∴PQ∥AE．
③正確，
∵△PQC是等邊三角形，
∴CQ=CP，
又∵∠ACP=∠BCQ，AC=BC，
∴△APC≌△BQC，
∴AP=BQ．
④錯誤，∵DC=DE，∠PCQ=∠CPQ=60°，
∴∠DPC＞60°，
∴DP≠DC，即DP≠DE．
⑤正確，
∵∠CAP=∠OBP，∠BAC=60°，
∴∠BAP+∠OBP=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴∠AOB=180°-（∠BAP+OBP）-∠BAC=60°．
故填①②③⑤．

點評：此題考查了等邊三角形的性質、平行線的判定定理、全等三角形的判定與性質及三角形的內角和定理；找著選項的正誤是正確解答本題的關鍵．