Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD和CE是高，∠ACE=45°，點F是AC的中點，AD與FE，CE分別交于點G、H，∠BCE=∠CAD，有下列結論：①圖中存在兩個等腰直角三角形；②△AHE≌△CBE；③BCAD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正確的個數有（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①圖中有3個等腰直角三角形，故結論錯誤；

②根據ASA證明即可，結論正確；

③利用面積法證明即可，結論正確；

④利用三角形的中線的性質即可證明，結論正確.

∵CE⊥AB，∠ACE=45°，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∵AF=CF，

∴EF=AF=CF，

∴△AEF，△EFC都是等腰直角三角形，

∴圖中共有3個等腰直角三角形，故①錯誤，

∵∠AHE+∠EAH=90°，∠DHC+∠BCE=90°，∠AHE=∠DHC，

∴∠EAH=∠BCE，

∵AE=EC，∠AEH=∠CEB=90°，

∴△AHE≌△CBE，故②正確，

∵S△ABC=BCAD=ABCE，AB=AC=AE，AE=CE，

∴BCAD=CE2，故③正確，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=DC，

∴S△ABC=2S△ADC，

∵AF=FC，

∴S△ADC=2S△ADF，

∴S△ABC=4S△ADF．

故選C．