Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，連結DE，且BD＝DE，過點B作BP∥DE，交⊙O于點P，連結OP．

（1）求證：AB＝AC；

（2）若∠A＝30°，求∠BOP的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠BOP＝90°

【解析】

（1）連結AD，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB=90°，求出∠BAD=∠CAD，△ADB≌△ADC即可；

（2）根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理可計算出∠ABC=75°，再根據圓內接四邊形的性質得到∠EDC=∠BAC=30°，然后利用平行線的性質得到∠PBC=∠EDC=30°，所以∠OBP=∠ABC-∠PBC=45°，于是可判斷△OBP為等腰直角三角形，則∠BOP=90°．

（1）證明：連接AD，

∵BD＝DE，

∴

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°＝∠CDA，

在△ADB和△ADC中

∴△ADB≌△ADC（ASA），

∵AB＝AC；

（2）解：∵∠BAC＝30°，AB＝AC，

∴∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°，

∵四邊形ABDE為圓O的內接四邊形，

∴∠EDC＝∠BAC＝30°，

∵BP∥DE，

∴∠PBC＝∠EDC＝30°，

∴∠OBP＝∠ABC﹣∠PBC＝45°，

∵OB＝OP，

∴△OBP為等腰直角三角形，

∴∠BOP＝90°．