Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點M，經過B，M兩點的⊙O交BC于點G，交AB于點F，FB恰為⊙O的直徑．

（1）求證：AE與⊙O相切；
（2）當BC=4，AC=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連接OM，

則∠OMB=∠OBM=∠MBE

又∵AB=AC，AE是角平分線，

∴AE⊥BC，

∴∠OMB+∠BME=∠MBE+∠BME=90°，∴∠AMO=90°，

∴AE與⊙O相切

（2）解：由AE與⊙O相切，AE⊥BC

∴OM∥BC

∴△AOM∽△ABE

∴

∵BC=4

∴BE=2，AB=6，

即 ，

【解析】（1）連接OM ，根據角平分線的定義及等邊對等角得出∠OMB=∠OBM=∠MBE，根據等腰三角形的三線合一得出AE⊥BC，根據三角形的內角和及等量代換得出∠AMO=90°，從而得出結論AE與⊙O相切 ；
（2）根據切線的性質定理及平行線的判定方法得出OM∥BC，根據平行于三角形一邊的直線截其它兩邊所截得的三角形與原三角形相似得△AOM∽△ABE；根據相似三角形對應邊成比例得出OM∶BE=AO∶AB ;從而得出關于圓的半徑的方程，求解即可。