Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO= ．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D和點C關于拋物線的對稱軸對稱，直線AD下方的拋物線上有一點P，過點P作PH⊥AD于點H，作PM平行于y軸交直線AD于點M，交x軸于點E，求△PHM的周長的最大值；
（3）在（2）的條件下，以點E為端點，在直線EP的右側作一條射線與拋物線交于點N，使得∠NEP為銳角，在線段EB上是否存在點G，使得以E，N，G為頂點的三角形與△AOC相似？如果存在，請求出點G的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點A的坐標為（﹣1，0），

∴OA=1．

又∵tan∠ACO= ，

∴OC=4．

∴C（0，﹣4）．

∵OC=OB，

∴OB=4

∴B（4，0）．

設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣4）．

∵將x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4

（2）解：∵拋物線的對稱軸為x=﹣ = ，C（0，﹣4），點D和點C關于拋物線的對稱軸對稱，

∴D（3，﹣4）．

設直線AD的解析式為y=kx+b．

∵將A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得： ，解得k=﹣1，b=﹣1，

∴直線AD的解析式y=﹣x﹣1．

∵直線AD的一次項系數k=﹣1，
∴∠BAD=45°．

∵PM平行于y軸，

∴∠AEP=90°．

∴∠PMH=∠AME=45°．

∴△MPH的周長=PM+MH+PH=PM+ MP+ PM=（1+ ）PM．

設P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），則PM=﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3，

∵PM=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4，

∴當a=1時，PM有最大值，最大值為4．

∴△MPH的周長的最大值=4×（1+ ）=4+4

（3）解：如圖1所示；當∠EGN=90°．

設點G的坐標為（a，0），則N（a，a2﹣3a﹣4）．

∵∠EGN=∠AOC=90°，

∴ 時，△AOC∽△EGN．

∴ = ，整理得：a2+a﹣8=0．

解得：a= （負值已舍去）．

∴點G的坐標為（ ，0）．

如圖2所示：當∠EGN=90°．

設點G的坐標為（a，0），則N（a，a2﹣3a﹣4）．

∵∠EGN=∠AOC=90°，

∴ 時，△AOC∽△NGE．

∴ =4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．

解得：a= （負值已舍去）．

∴點G的坐標為（ ，0）．

∵EN在EP的右面，

∴∠NEG＜90°．

如圖3所示：當∠ENG′=90°時，

EG′=EG× × =（ ﹣1）× = ．

∴點G′的橫坐標= ．

∵ ≈4.03＞4，

∴點G′不在EG上．

故此種情況不成立．

綜上所述，點G的坐標為（ ，0）或（ ，0）

【解析】（1）先由銳角三角函數的定義求得C的坐標，從而得到點B的坐標，設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），將點C的坐標代入求解即可；
（2）先求得拋物線的對稱軸，從而得到點D（3，-4），然后利用待定系數法可求得直線AD的解析式，根據直線AD的一次項系數的特點得出∠BAD=45°，進而得出△PMD為等腰直角三角形，所當PM有最大值時三角形的周長最大，設P（a，a2-3a-4），M（-a-1），則PM=-a2+2a+3，然后利用配方可求得PM的最大值，最后根據△MPH的周長=（）PM，即可以得出答案；
（3）當∠EGN=90°時，設點G的坐標為（a，0），則N（a，a2-3a-4），則EG=a-1，NG=-a2+3a+4，故OA∶OC＝EG∶GN ;如果△AOC∽△EGN，然后根據題意列方程求解判斷是否適合題意即可 。’

【考點精析】根據題目的已知條件，利用確定一次函數的表達式和二次函數的最值的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．