Question

已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，連接EC，取EC的中點M，連接DM和BM．
（1）若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖1，探索BM、DM的關系并給予證明；
（2）如果將圖1中的△ADE繞點A逆時針旋轉小于45°的角，如圖2，那么（1）中的結論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求BM和DM的關系，可從角的度數入手，由題意，BM是直角三角形CBE斜邊上的中線，因此BM=CM，∠MCB=∠MBC，
∠BME=2∠MCB，同理可得出∠DME=2∠DCM，根據三角形ABC是個等腰直角三角形，那么∠DCM+∠BCE=45°，因此∠BME+∠DME=2（∠DCM+∠BCM）=90°，由此我們可得出∠BMD=90°，那么BM和DM是互相垂直的；
（2）可通過構建三角形來求解，連接BD，延長DM至點F，使得DM=MF，連接BF、FC，延長ED交AC于點H．那么我們只要證明三角形DBF是個等腰三角形就可以了（等腰三角形三線合一）．那么關鍵就是證明三角形ADB和CFB全等．這兩個三角形中已知的只有AB=BC，根據EM=MC，DM=MF，那么四邊形DEFC就是平行四邊形，ED=CF=AD，那么只要得出這兩組對應邊的夾角相等即可得出全等的結論，我們發現∠BCF=∠ACF-45°，∠ACF=∠AHE，那么只要證得∠BAD=∠AHE-45°即可，∠BAD=45°-∠DAH=45°-（90°-∠AHE）=∠AHE-45°，由此可得出∠BAD=∠BCF，那么就能證得兩三角形全等了（SAS）．那么就能證得DBF是個等腰三角形了根據等腰三角形三線合一的特點，也就能得出BM⊥DM了．
解答：解：（1）BM=DM，BM⊥DM，
在Rt△EBC中，M是斜邊EC的中點，
∴BM=EC=EM=MC，
∴∠EMB=2∠ECB．
在Rt△EDC中，M是斜邊EC的中點，
∴DM=EC=EM=MC．
∴∠EMD=2∠ECD．
∴BM=DM，∠EMD+∠EMB=2（∠ECD+∠ECB），
∵∠ECD+∠ECB=∠ACB=45°，
∴∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM．

（2）：（1）中的結論仍成立，
連接BD，延長DM至點F，使得DM=MF，連接BF、FC，延長ED交AC于點H．
∵DM=MF，EM=MC，
∴四邊形CDEF是平行四邊形，
∴DE∥CF，ED=CF，
∵ED=AD，
∴AD=CF．
∵DE∥CF，
∴∠AHE=∠ACF．
∵∠BAD=45°-∠DAH=45°-（90°-∠AHE）=∠AHE-45°，∠BCF=∠ACF-45°，
∴∠BAD=∠BCF．
又∵AB=BC，
∴△ABD≌△CBF，
∴BD=BF，∠ABD=∠CBF，
∵∠ABD+∠DBC=∠CBF+∠DBC，
∴∠DBF=∠ABC=90°．
在Rt△DBF中，由BD=BF，DM=MF，得BM=DM且BM⊥DM．
點評：本題解題的關鍵是通過構建全等三角形來得出線段相等，然后根據線段相等得出所求的結論．