Question

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，M是AC的中點，連接BM，CF⊥MB，F是垂足，延長CF交AB于點E．求證：∠AME=∠CMB．

Answer 1

分析：可以分兩種作法：
（1）過A作CB的平行線交CE的延長線于點N．可證明△NAC≌△MCB以及△AME≌△ANE，從而得出∠AME=∠CMB；
（2）作∠ACB的平分線交BM于點N．可以證明△AEC≌△CNB以及△AME≌△CMN，即可得出∠AME=∠CMB．

解答：證明：
證法一：過A作CB的平行線交CE的延長線于點N．
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠NCB=90°
∵CF⊥MB
∴∠2+∠NCB=90°
∴∠1=∠2
∵AN∥BC且∠ACB=90°
∴∠NAC=90°
在△NAC和△MCB中

∠1=∠2 AC=CB ∠NAC=∠ACB

∴△NAC≌△MCB（A．S．A）
∴∠N=∠CMB
∵AN=MC
∵M是AB中點∴AM=MC=AN
∵∠ACB=90°AC=BC
∴∠3=∠ABC=45°
∵AN∥BC∴∠4=∠ABC
∴∠3=∠4
在△AME和△ANE中

AM=AN ∠3=∠4 AE=AE

，
∴△AME≌△ANE（S．A．S）
∴∠AME=∠N，
∵∠N=∠CMB
∴∠AME=∠CMB；

證法二：作∠ACB的平分線交BM于點N．                                                        
∵AC=BC∠ACB=90°
∴∠ABC=∠A=45°
∠MCE+∠BCE=90°
∴∠MCE=∠MBC＜∠ABC=45°
∴N點在線段BF上．
∵CN是∠ACB的平分線
∴∠ACN=∠BCN=45°
在△AEC和△CNB中

∠A=∠BCN AC=CB ∠ACE=∠MBC

∴△AEC≌△CNB
∴CN=AE
∵M是AB中點
∴AM=MC
在△AME和△CMN中

∠A=∠MCN CN=AE AM=MC

∴△AME≌△CMN，
∴∠AME=∠CMB．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質以及等腰直角三角形的性質，要注意一題多解．