Question

【題目】（1）發(fā)現(xiàn)：如圖①，點(diǎn)A為一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為兩個(gè)定點(diǎn)，且，（）．

填空：當(dāng)點(diǎn)位于_______時(shí)，線段的長(zhǎng)取得最小值，且最小值為_______（用含的式子表示）；

（2）如圖②應(yīng)用：點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，，如圖2分別以、為邊作等邊三角形和等邊三角形，連接、．

①請(qǐng)找出圖中與相等的線段，并說(shuō)明理由；

②直接寫出線段長(zhǎng)的最小值．

（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為線段OB外一動(dòng)點(diǎn)，且，，，請(qǐng)求出的最小值并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）線段BC上， ；（2）①，理由見(jiàn)解析；②；（3）

【解析】

（1）直接根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出答案；

（2）①首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，然后由全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；

②線段BE長(zhǎng)度的最小值=線段CD長(zhǎng)度的最小值，當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上時(shí)，CD最小，即可求出答案；

（3）在y軸上取點(diǎn)，連接，在點(diǎn)P所在的圓O上取一點(diǎn) ，連接，依題意作，使，連接 ，首先利用相似三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)M在以為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)， ，從而可求出OM的最小值，此時(shí)M在y軸上，通過(guò)全等三角形的性質(zhì)得出，然后設(shè)，建立方程組即可求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1），，，

∴當(dāng)點(diǎn)A位于線段BC上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最小值，且最小值為；

（2）①，理由如下：

∵都是等邊三角形，

∴ ，

，

即．

在和中，

，

；

②當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上時(shí)，CD最小，此時(shí) ，

∵，

∴線段長(zhǎng)的最小值為 ；

（3）在y軸上取點(diǎn)，連接，在點(diǎn)P所在的圓O上取一點(diǎn) ，連接，依題意作，使，連接 ，

,

，

，，

∴ ，

，

．

同理，，

．

，

，

∴點(diǎn)M在以為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)， ，

∴OM的最小值為 ．

如圖，此時(shí)M點(diǎn)在y軸上，設(shè)此時(shí)P點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)E，延長(zhǎng) ，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F，

∵ ，

．

，

．

在和中，

，

．

設(shè)，

解得

∴此時(shí)P的坐標(biāo)為 ．