Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（0，8），點 B（b，t）在直線x=b上運動，點D、E、F分別為OB、0A、AB的中點，其中b是大于零的常數．

（1）判斷四邊形DEFB的形狀．并證明你的結論；

（2）試求四邊形DEFB的面積S與b的關系式；

（3）設直線x=b與x軸交于點C，問：四邊形DEFB能不能是矩形？若能．求出t的值；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形，證明見解析；（2）S=2b（b＞0）；（3）當0＜b≤4時，四邊形DEFB是矩形，這時，t=4±，當b＞4時，四邊形DEFB不是矩形．

【解析】

解：（1）四邊形DEFB是平行四邊形．

證明：∵D、E分別是OB、OA的中點，

∴DE∥AB，同理，EF∥OB，

∴四邊形DEFB是平行四邊形；

（2）如圖，連接BE，

S△AOB=×8×b=4b，

∵E、F分別為OA、AB的中點，

∴S△AEF=S△AEB=S△AOB=b，

同理S△EOD=b，

∴S=S△AOB-S△AEF-S△ODE=4b-b-b=2b，

即S=2b（b＞0）；

（3）解法一：以E為圓心，OA長為直徑的圓記為⊙E，

①當直線x=b與⊙E相切或相交時，若點B是切點或交點，則∠ABO=90°，由（1）知，四邊形DEFB是矩形，

此時0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC，

∴

，即OB2=OABC=8t，

在Rt△OBC中，OB2=BC2+OC2=t2+b2，

∴t2+b2=8t，

∴t2-8t+b2=0，

解得t=4±，

②當直線x=b與⊙E相離時，∠ABO≠90°，

∴四邊形DEFB不是矩形，

綜上所述：當0＜b≤4時，四邊形DEFB是矩形，這時，t=4±，當b＞4時，四邊形DEFB不是矩形；

解法二：由（1）知，當∠ABO=90°時，四邊形DEFB是矩形，

此時，Rt△OCB∽Rt△ABO，

∴，即OB2=OABC，

又OB2=BC2+OC2=t2+b2，OA=8，BC=t（t＞0），

∴t2+b2=8t，

∴（t-4）2=16-b2，

①當16-b2≥0時，解得t=4±，此時四邊形DEFB是矩形，

②當16-b2＜0時，t無實數解，此時四邊形DEFB不是矩形，

綜上所述：當16-b2≥0時，四邊形DEFB是矩形，此時t=4±，當16-b2＜0時，四邊形DEFB不是矩形；

解法三：如圖，過A作AM⊥BC，垂足為M，

在Rt△AMB中，AB2=AM2+BM2=b2+（8-t）2，

在Rt△OCB中，OB2=OC2+BC2=b2+t2，

在Rt△OAB中，當AB2+OB2=OA2時，∠ABO=90°，則四邊形DEFB為矩形，

∴b2+（8-t）2+b2+t2=82，

化簡得t2-8t=-b2，配方得（t-4）2=16-b2，其余同解法二．