Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，且AB為⊙O的直徑．∠ACB的平分線交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點P，過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F．

（1）求證：EF +AE= BF ；

（2）求證：△PDA∽△PCD ；

（3）若AC=6，BC=8，求線段PD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）利用圓的性質，證明△ADE≌△DBF可得到結論，

（2）連接OD，證明∠PDA＝∠ACD＝∠ADO =45°，從而可得結論，

（3）利用圓的性質，得到△ACE，△DAB為等腰直角三角形，求解的長，利用△PDA∽△PCD，從而可得答案．

（1）證明：為直徑，

∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，

∴∠ACD=∠BCD=45°，

∴

∴AD=BD

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=∠ADE+∠BDF=90°，

∵AE⊥CD，BF⊥CD，

∴∠AED=∠BFD=90°，

∴∠FBD+∠BDF=90°，

∴∠FBD=∠ADE，

在△ADE和△DBF中

，

∴△ADE≌△DBF（AAS）

∴BF=DE，AE=DF，

∵EF + DF = DE

∴EF + AE = BF

（2）證明：如圖，連接OD

∵∠ACD=∠BCD=45°，

∴AD=BD

∴∠DAB＝∠ABD＝45°．

∴△DAB為等腰直角三角形．

∵AB是直徑,O是圓心

∴∠ACD＝∠ADO＝∠BDO =45°.

∵PD為⊙O的切線，

∴OD⊥PD.

∴∠PDA＝∠ACD＝∠ADO =45°.

又∵∠DPA＝∠CPD，

∴△PDA∽△PCD，

（3）在Rt△ACB中，

∵△DAB為等腰直角三角形，

∴AD=DB=，

∵AE⊥CD，∠ACD＝45°

∴△ACE為等腰直角三角形．

∴AE=CE=

在Rt△AED中，

∵△PDA∽△PCD.

∴.

∴PA＝，PC＝.

又PC＝PA＋AC，

∴＋6＝，

解得：PD＝