Question

【題目】如圖①,在平面直角坐標系中,直線與x軸交于C點,與y軸交于點E,點A在x軸的負半軸,以A點為圓心,AO為半徑的圓與直線的CE相切于點F,交x軸負半軸于另一點B.

(1)求的半徑;

(2)連BF、AE,則BF與AE之間有什么位置關系?寫出結論并證明.

(3)如圖②,以AC為直徑作交y軸于M,N兩點,點P是弧MC上任意一點,點Q是弧PM的中點,連CP,NQ,延長CP,NQ交于D點,求CD的長.

Answer 1

【答案】(1)1;(2) BF∥AE．具體分析見解析：（3）.

【解析】

（1）連接AF，如圖①a，由直線EC的解析式可求出OE、OC的長，根據勾股定理可求出EC的長，然后根據切線長定理可求出EF的長，然后在Rt△AFC中運用勾股定理就可求出圓的半徑．

（2）連接OF，交AE于點H，如圖①b，根據切線長定理可得EF=EO，EA平分∠FEO，根據等腰三角形的性質可得∠AHO=90°，由BO是⊙A的直徑可得∠BFO=90°，從而得到∠BFO=∠AHO，即可得到BF∥AE．

（3）連接QC、QM、MC、NC、MO1，如圖②，易證△MCQ≌△DCQ，則有MC=DC．在Rt△MOO1中，運用勾股定理可求出MO的長，然后在Rt△MOC中，運用勾股定理就可求出MC，即可得到CD的長.

解:(1)連接AF,

如圖①a.

直線與x軸交于C點,與y軸交于E點,

點C的坐標為(2，0),點E的坐標為（0，）,

∴OC=2，OE=．

∵∠EOC=90°，

∴EC=．

∵AO⊥OE，∴直線OE與⊙A相切于點O．

又∵直線CE與⊙A相切于點F，

∴∠AFC=90°，EF=OE=，

∴FC=FE+EC=，

在Rt△AFC中，

設AF=，則AO=x，AC=x+2．

根據勾股定理可得：x2+（

）2=（x+2）2，

解得：x=1．

∴⊙A的半徑為1．

（2）BF∥AE．

證明：連接OF，交AE于點H，如圖①b．

∵EF、EO分別與⊙A相切于點F、O，

∴EF=EO，EA平分∠FEO，

∴EA⊥OF，即∠AHO=90°．

∵BO是⊙A的直徑，

∴∠BFO=90°，

∴∠BFO=∠AHO，

∴BF∥AE．

（3）連接QC、QM、MC、NC、MO1，如圖②．

∵AC是⊙O1的直徑，AC⊥MN，

∴，

∴∠NQC=∠MNC．

∵∠MQC+∠MNC=180°，∠DQC+∠NQC=180°，

∴∠MQC=∠DQC．

∵點Q是的中點，

∴∠MCQ=∠PCQ．

在△MCQ和△DCQ中，

，

∴△MCQ≌△DCQ（ASA），

∴MC=DC．

∵OA=1，OC=2，

∴AC=3，AO1=，OO1=f，

在Rt△MOO1中，

MO1=AO1=，OO1=，

∴．

在Rt△MOC中，

MC=，

∴DC=，

∴CD的長為.