Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，在△ABC內一點P，已知∠1＝∠2＝∠3，將△BCP以直線PC為對稱軸翻折，使點B與點D重合，PD與AB交于點E，連結AD，將△APD的面積記為S1，將△BPE的面積記為S2，則的值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先證明∠APC＝90°，∠BPC＝∠APB＝∠ADB＝135°，再證明△PDB，△ADP都是等腰直角三角形即可解決問題．

如圖，連接BD．

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵∠1＝∠2，∠2+∠ACP＝90°，

∴∠1+∠ACP＝90°，

∴∠APC＝90°，

∵∠2＝∠3，∠3+∠PBC＝45°，

∴∠2+∠PBC＝45°，

∴∠BPC＝∠DPC＝135°，

∴∠APD＝45°，∠DPB＝90°，

∵PD＝PB，

∴△PDB是等腰直角三角形，

同法可知：∠APB＝135°，

∴∠APD＝45°，

∵CA＝CD＝CB，

∴∠CAD＝∠CDA，∠CDB＝∠CBD，

∵∠ACD+2∠CDA＝180°，∠DCB+2∠CDB＝180°，∠ACD+∠DCB＝90°，

∴2∠ADC+2∠CDB＝270°，

∴∠ADP＝∠ADC+∠CDB＝135°，

∵∠PDB＝45°，

∴∠ADP＝90°，

∵∠APD＝45°，

∴△APD是等腰直角三角形，

∴AD＝PD＝PB，

∵∠ADP＝∠DPB＝90°，

∴AD∥PB，

∴四邊形ADBP是平行四邊形，

∴PE＝DE，

∴S2＝S△DPBS△ADP＝S1．

∴＝，

故答案為．