Question

【題目】某廠家生產并銷售某種產品，假設銷售量與產量相等，如圖中的折線ABD，線段CD分別表示該產品每千克生產成本y1（單位：元），銷售價y2（單位：元）與產量x（單位：kg）之間的函數關系．

（1）請解釋圖中點D的實際意義．
（2）求線段CD所表示的y2與x之間的函數表達式．
（3）當該產品產量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：點D的實際意義：當產量為140kg時，該產品每千克生產成本與銷售價相等，都為40元

（2）解：設線段CD所表示的y2與x之間的函數表達式為y2=k1x+b1，

∵點（0，124），（140，40）在函數y2=k1x+b1的圖象上

∴ ，解得： ，

∴y2與x之間的函數表達式為y2=﹣ x+124（0≤x≤140）

（3）解：設線段AB所表示的y1與x之間的函數表達式為y1=k2x+b2，

∵點（0，60），（100，40）在函數y1=k2x+b2的圖象上

∴ ，解得： ，

∴y1與x之間的函數表達式為y1=﹣ x+60（0≤x≤100）

設產量為x千克時，獲得的利潤為W元

①當0≤x≤100時，W=[（﹣ x+124）﹣（﹣ x+60）]x=﹣ （x﹣80）2+2560，

∴當x=80時，W的值最大，最大值為2560元．

②當100≤x≤140時，W=[（﹣ x+124）﹣40]x=﹣ （x﹣70）2+2940

由﹣ ＜0知，當x≥70時，W隨x的增大而減小

∴當x=100時，W的值最大，最大值為2400元．

∵2560＞2400，

∴當該產品的質量為80kg時，獲得的利潤最大，最大利潤為2560元

【解析】（1）交點D為x取相同數時y1=y2所以易得點D的實際意義。
（2）已知點C，點D坐標，所以易由待定系數法求得直線CD的解析式。
（3）由于銷售量與產量的函數圖像分為兩段，所以需要分情況討論，而我們的利潤是（售價-成本）×數量，所以結合（2）中的解析式可得利潤的解析式分別為①當0≤x≤100時W==﹣ （x﹣80）2+2560②當100≤x≤140時，W=﹣ （x﹣70）2+2940，結合兩個函數的最值，可得結果。
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質和二次函數的最值，需要了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能得出正確答案．