Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，以O(shè)C為半徑的⊙O與CD交于點(diǎn)M，且∠BAC=∠DAM．

（1）求證：AM與⊙O相切；

（2）若AM=3DM，BC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）MO=．

【解析】

試題分析：（1）首先連接OE，由四邊形ABCD是矩形，∠BAC=∠DAM，可證得∠OMC+∠DMA=90°，即可得∠AMO=90°，則可證得AM與⊙O相切；

（2）易證得△BAC∽△DAM，由相似三角形的性質(zhì)得到=，得到=，根據(jù)AM=3DM，BC=2求得AC=6，在△DAM中，根據(jù)勾股定理得DM2+AD2=AM2，即可求得DM和AM，在△AMO中，根據(jù)AM2+MO2=AO2求得OM的長(zhǎng)，即可得⊙O的半徑．

（1）證明：連接OM．

在矩形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°

∴∠BAC=∠DCA，

∵OM=OC，

∴∠OMC=∠OCM．

∵∠BAC=∠DAM，

∴∠DAM=∠OMC．

∴∠OMC+∠DMA=∠DAM+∠DMA．

在△DAM中，∠D=90°，

∴∠DAM+∠DMA=180°﹣90°=90°．

∴∠OMC+∠DMA=90°．

∴∠AMO=90°，

∴AM⊥MO．

點(diǎn)M在⊙O上，OM是⊙O的半徑，

∴AM與⊙O相切．

（2）在△BAC與△DAM中，

∵∠BAC=∠DAM，∠B=∠D，

∴△BAC∽△DAM，

∴=，

∴=．

∵AM=3DM，

∴AC=3BC．BC=2，

∴AC=6，

在△DAM中，DM2+AD2=AM2

即DM2+22=（3DM）2

解得DM=．AM=．

在△AMO中，AM2+MO2=AO2

即（）2+MO2=（6﹣MO）2．

解得MO=．