Question

【題目】如圖，已知AC，EC分別為正方形ABCD和正方形EFCG的對角線，點E在△ABC內，連接BF，∠CAE+∠CBE=90°．

（1）求證：△CAE∽△CBF；

（2）若BE=1，AE=2，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CE=．

【解析】

試題分析：（1）首先根據四邊形ABCD和EFCG均為正方形，可得，∠ACE=∠BCF；然后根據相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可；

（2）首先根據△CAE∽△CBF，判斷出∠CAE=∠△CBF，再根據∠CAE+∠CBE=90°，判斷出∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根據勾股定理，求出EF的長度，再根據CE、EF的關系，求出CE的長是多少即可．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD和EFCG均為正方形，

∴，

∴∠ACB=∠ECF=45°，

∴∠ACE=∠BCF，

∴△CAE∽△CBF．

（2）∵△CAE∽△CBF，

∴∠CAE=∠△CBF，，

又∵∠CAE+∠CBE=90°，

∴∠CBF+∠CBE=90°，

∴∠EBF=90°，

又∵，AE=2

∴，

∴BF=，

∴EF2=BE2+BF2=3，

∴EF=，

∵CE2=2EF2=6，

∴CE=．