Question

8．如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，交⊙O于點P，OA=5，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C．
（1）求證：AB=AC．
（2）若PC=2$\sqrt{5}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）由同圓半徑相等和對頂角相等得∠OBP=∠APC，由圓的切線性質和垂直得∠ABP+∠OBP=90°和∠ACB+∠APC=90°，則∠ABP=∠ACB，根據等角對等邊得AB=AC；
（2）設⊙O的半徑為r，分別在Rt△AOB和Rt△ACP中根據勾股定理列等式，并根據AB=AC得5²-r²=（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²，求出r的值即可．

解答 證明：（1）連接OB，
∵OB=OP，
∴∠OPB=∠OBP，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠OBP=∠APC，
∵AB與⊙O相切于點B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∴∠ABP+∠OBP=90°，
∵OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∴∠ACB+∠APC=90°，
∴∠ABP=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）設⊙O的半徑為r，
在Rt△AOB中，AB²=OA²-OB²=5²-r²，
在Rt△ACP中，AC²=PC²-PA²，
AC²=（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²，
∵AB=AC，
∴5²-r²=（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²，
解得：r=3，
則⊙O的半徑為3．

點評 本題考查了圓的切線的性質，圓的切線垂直于經過切點的半徑；并利用勾股定理列等式，求圓的半徑；此類題的一般做法是：若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系；簡記作：見切點，連半徑，見垂直．