Question

【題目】
（1）如圖1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，現以C為圓心、CB長為半徑畫弧交邊AC于D，再以A為圓心、AD為半徑畫弧交邊AB于E．求證： = ．（這個比值 叫做AE與AB的黃金比．）
（2）如果一等腰三角形的底邊與腰的比等于黃金比，那么這個等腰三角形就叫做黃金三角形．請你以圖2中的線段AB為腰，用直尺和圓規，作一個黃金三角形ABC． （注：直尺沒有刻度！作圖不要求寫作法，但要求保留作圖痕跡，并對作圖中涉及到的點用字母進行標注）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，

∴設AB=2x，BC=x，則AC= x，

∴AD=AE=（ ﹣1）x，

∴ = = ．

（2）解：底與腰之比均為黃金比的等腰三角形，如圖：

①過點B作EB⊥AB，作AB的垂直平分線交AB于點D，使BE=BD，

②連接AE，以E為圓心，BE長為半徑畫弧，使EF=BE，

③以B為圓心AF長為半徑畫弧，以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交點為C，

則△ABC即為所求．

．

【解析】（1）利用位置數表示出AB，AC，BC的長，進而得出AE的長，進而得出答案；（2）根據底與腰之比均為黃金比的等腰三角形，畫圖即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解黃金分割的相關知識，掌握把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=0.618AB．