Question

【題目】（本題10分）如圖，AB是半圓O的直徑，CD⊥AB于點C，交半圓于點E， DF切半圓于點F。已知∠AEF=135°。

（1）求證：DF∥AB；

（2）若OC=CE，BF=，求DE的長。

Answer 1

【答案】見解析；2－

【解析】

試題連結OF，根據切線得出DF⊥OF，根據內角四邊形的性質以及∠AEF的度數得出∠B=45°，根據OB=OF得出∠FOA=90°，從而得出平行；連結OE，根據BF的長度和∠FOB=90°得出OB=OF=2，根據OC=CE，CE⊥AB，OE=OF=2得出CE的長度，根據DC∥OF，DF∥AB，∠COF=90°得出四邊形COFD為矩形，從而得出DC=OF=2，然后根據DE=DC－CE求出答案.

試題解析：（1）連結OF ∵DF切半圓O于點F ∴DF⊥OF

∵∠AEF=135°，四邊形ABFE為圓的內接四邊形 ∴∠B=45° ∵OB=OF

∴∠FOA=90° ∴DF∥AB

（2）連結OE ∵BF=2∠FOB=90° ∴OB=OF=2

∵OC=CE，CE⊥AB，OE=OF=2 ∴CE=∵DC∥OF，DF∥AB ∠COF=90°

∴四邊形COFD為矩形 ∴DC=OF=2 ∴DE=DC－CE=2－