Question

【題目】提出問題：如圖①，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點，

△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什么關系？

探究發現：為了解決這個問題，我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手：

（1）當AP=AD時（如圖②）：

∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S△ABP=S△ABD．

∵PD=AD﹣AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，

∴S△CDP=S△CDA．

∴S△PBC=S四邊形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP

=S四邊形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA

=S四邊形ABCD﹣（S四邊形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四邊形ABCD﹣S△ABC）

=S△DBC+S△ABC．

（2）當AP=AD時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，寫出求解過程；

（3）當AP=AD時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：　 　；

（4）一般地，當AP=AD（n表示正整數）時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，寫出求解過程；

問題解決：當AP=AD（0≤≤1）時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：　 　．

Answer 1

【答案】答案見解析

【解析】試題分析：（2）仿照（1）的方法，只需把換為即可；
（3）注意由（1）（2）得到一定的規律；
（4）綜合（1）（2）（3）得到面積和線段比值之間的一般關系；
（5）利用（4），得到更普遍的規律．

試題解析：(2)∵△ABP和△ABD的高相等，

又 △CDP和△CDA的高相等，

∴S△PBC=S四邊形ABCDS△ABPS△CDP=S四邊形ABCDS△ABDS△CDA，

=S四邊形ABCD (S四邊形ABCDS△DBC) (S四邊形ABCDS△ABC)，

(3)

(4)

△ABP和△ABD的高相等，

又△CDP和△CDA的高相等，

∴S△PBC=S四邊形ABCDS△ABPS△CDP=S四邊形ABCDS△ABDS△CDA，

=S四邊形ABCD (S四邊形ABCDS△DBC) (S四邊形ABCDS△ABC)，

問題解決：