Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（1，0），直線y=2x﹣1與y軸交于點C，與拋物線交于點C、D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求點A到直線CD的距離；

（3）平移拋物線，使拋物線的頂點P在直線CD上，拋物線與直線CD的另一個交點為Q，點G在y軸正半軸上，當以G、P、Q三點為頂點的三角形為等腰直角三角形時，求出所有符合條件的G點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=x2﹣1．（2）點A到直線CD的距離為．（3）符合條件的點G有兩個，其坐標為（0，4）或（0，9）．

【解析】

試題分析：（1）首先求出點C坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；

（2）設直線CD與x軸交于點E，求出點E的坐標，然后解直角三角形（或利用三角形相似），求出點A到直線CD的距離；

（3）△GPQ為等腰直角三角形，有三種情形，需要分類討論．為方便分析與計算，首先需要求出線段PQ的長度．

方法一：

解：（1）直線y=2x﹣1，當x=0時，y=﹣1，則點C坐標為（0，﹣1）．

設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

∵點A（﹣1，0）、B（1，0）、C（0，﹣1）在拋物線上，

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣1．

（2）如答圖2所示，直線y=2x﹣1，

當y=0時，x=；

設直線CD交x軸于點E，則E（，0）．

在Rt△OCE中，OC=1，OE=，

由勾股定理得：CE=，

設∠OEC=θ，則sinθ=，cosθ=．

過點A作AF⊥CD于點F，

則AF=AEsinθ=（OA+OE）sinθ=（1+）×=，

∴點A到直線CD的距離為．

（3）∵平移后拋物線的頂點P在直線y=2x﹣1上，

∴設P（t，2t﹣1），則平移后拋物線的解析式為y=（x﹣t）2+2t﹣1．

聯立，

化簡得：x2﹣（2t+2）x+t2+2t=0，

解得：x1=t，x2=t+2，

即點P、點Q的橫坐標相差2，

∴PQ===．

△GPQ為等腰直角三角形，可能有以下情形：

i）若點P為直角頂點，如答圖3①所示，

則PG=PQ=．

∴CG====10，

∴OG=CG﹣OC=10﹣1=9，

∴G（0，9）；

ii）若點Q為直角頂點，如答圖3②所示，

則QG=PQ=．

同理可得：G（0，9）；

iii）若點G為直角頂點，如答圖3③所示，

此時PQ=，

則GP=GQ=．

分別過點P、Q作y軸的垂線，垂足分別為點M、N．

易證Rt△PMG≌Rt△GNQ，

∴GN=PM，GM=QN．

在Rt△QNG中，

由勾股定理得：GN2+QN2=GQ2，

即PM2+QN2=10 ①

∵點P、Q橫坐標相差2，

∴NQ=PM+2，

代入①式得：PM2+（PM+2）2=10，

解得PM=1，

∴NQ=3．

直線y=2x﹣1，

當x=1時，y=1，

∴P（1，1），

即OM=1．

∴OG=OM+GM=OM+NQ=1+3=4，

∴G（0，4）．

綜上所述，符合條件的點G有兩個，其坐標為（0，4）或（0，9）．

方法二：

（1）略．

（2）作AF⊥CD，垂足為F，∴KCD×KAF=﹣1，

∵KCD=2，∴KAF=﹣，

∵A（﹣1，0），∴lAF：y=﹣x﹣，

∵lCD：y=2x﹣1，

∴lAF與lCD的交點坐標F（，﹣），

∴AF=．

（3）∵平移后拋物線的頂點P在直線y=2x﹣1上，設P（t，2t﹣1），

則平移后拋物線的解析式為y=（x﹣t）2+2t﹣1，

∴拋物線與直線的交點P（t，2t﹣1），Q（t+2，2t+3），

以G、P、Q三點為頂點的三角形為等腰直角三角形．

①點G可視為點Q繞點P逆時針旋轉90°而成，將P點平移至原點P′（0，0），

則Q′（2，4），將Q′點繞原點逆時針旋轉90°，則G′（﹣4，2），

將P′平移至P點，則G′平移后即為G（﹣4+t，2t+1），

∵GX=0，∴t=4，∴G1（0，9），

②同理可得G2（0，9），

③點P可視為點Q繞點G順時針旋轉90°而成，設G（0，b），

將G平移至原點，G′（0，0），則Q′（t+2，2t+3﹣b），

將Q′繞原點順時針旋轉90°，則P′（2t+3﹣b，﹣t﹣2），

將G′平移至G點，則P′平移后即為P（2t+3﹣b，﹣t﹣2+b），

∴2t+3﹣b=t，﹣t﹣2+b=2t﹣1，∴t=1，b=4，

∴G3（0，4），

綜上所述，滿足題意的點G1（0，9），G2（0，4）．