Question

如圖，已知拋物線y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

與x軸的兩個交點為A、B，與y軸交于點C．
（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）求證：△ABC是直角三角形；
（3）若坐標平面內的點M，使得以點M和三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標．（直接寫出點的坐標，不必寫求解過程）

Answer 1

分析：（1）分別令x=0，y=0從而求得點A，B，C的坐標；
（2）利用（1）的結論即可求得AB，AC，BC的長，再根據勾股定理的逆定理即可證明△ABC為直角三角形；
（3）CD∥AB可得兩個點，AC∥BD也可得到一個．

解答：（1）解：令x=0，得y=

3

，得點C（0，

3

）；
令y=0，得-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

=0，
解得x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）證明：因為AC²=1²+（

3

）²=4，BC²=3²+（

3

）²=12，AB²=16，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC是直角三角形；

（3）解：①如圖：當CM∥AB時，
∵CM=AB=4，
∴M₁（4，

3

）；
②當AM∥BC時，
∵CM=AB=4，
∴M₂（-4，

3

）；
當AM∥BC時，
∵直線AC為：y=

3

x+

3

，直線BC為：y=-

3

3

x+

3

，
∴直線BM為：y=

3

x-3

3

，直線AM為：y=-

3

3

x-

3

3

，
∴M₃（2，-

3

）．
∴M₁（4，

3

），M₂（-4，

3

），M₃（2，-

3

）．（只寫出一個給（1分），寫出2個，得1.5分）

點評：此題綜合考查了二次函數與一元二次方程的關系，直角三角形的判定，平行四邊形的判定等知識點．