Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣+2與x軸交于B、C兩點，與y軸交于點A，拋物線的頂點為D．連接AB，點E是第二象限內的拋物線上的一動點，過點E作EP⊥BC于點P，交線段AB于點F．

（1）連接EA、EB，取線段AC的中點Q，當△EAB面積最大時，在x軸上找一點R使得|RE一RQ|值最大，請求出R點的坐標及|RE﹣RQ|的最大值；

（2）如圖2，在（1）的條件下，將△PED繞E點旋轉得△ED′P′，當△AP′P是以AP為直角邊的直角三角形時，求點P′的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2）當△AP′P是以AP為直角邊的直角三角形時，點P′的坐標為（，）或（，）或（，）

【解析】

（1）先求直線AB解析式，設點E橫坐標為e，則能用e表示E、F的坐標進而表示EF，求得△EAB面積是關于e的二次函數，易得e＝﹣時△EAB面積最大，進而得E的坐標．由三角形兩邊之差小于第三邊可知，當E、Q、R成一直線時，|RE﹣RQ|＝EQ最大；由Q為AC中點求得Q坐標，求直線EQ解析式即能求EQ與x軸的交點R坐標及EQ的長．

（2）設P'坐標為（m、n），由于不確定以點A還是點P為直角頂點，故需分兩類情況討論．每種情況下都易得有關P'、P的三角形與△AOP相似，由對應邊成比例列得關于m、n的二元方程；又由旋轉得EP'＝EP＝，根據勾股定理又列得關于m、n的二元方程，聯立兩二元方程組即求出m、n的值．

（1）∵y＝0時，﹣+2＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，

∴B（﹣3，0），C（1，0），

∵x＝0時，y＝2，，

∴A（0，2），

設直線AB的解析式為y＝kx+b，

∴解得：，

∴直線AB的解析式為：y＝x+2，

設點E（e，﹣e2﹣e+2），則點F（e，e+2），

∴EF＝﹣e2﹣e+2﹣（e+2）＝﹣e2﹣2e

∴S△EAB＝OBEF＝×3（﹣e2﹣2e）＝﹣e2﹣3e＝﹣（e+）2+，

∵﹣3＜e＜0

∴當e＝﹣時，△EAB的面積最大，

∴﹣e2﹣e+2＝，

∴此時點E坐標為（-，）

如圖1，

連接并延長EQ，交x軸于點R，則此時|RE﹣RQ|＝EQ值最大

∵Q是AC中點，

∴Q（，1）

設直線EQ解析式為：y＝ax+c，

∴，解得：，

∴直線EQ解析式為：y＝x+，

當y＝0時， x+＝0，解得：x＝，

∴R（，0），

此時|RE﹣RQ|的最大值EQ＝，

（2）設點P'坐標為（m，n）

∵EP⊥x軸，E（-，）

∴P（-，0），EP＝，AP＝，

i）當∠P'PA＝90°時，如圖2，

過點P'作P'M⊥x軸于點M，

∴∠P'MP＝∠POA＝90°，∠PP'M+∠P'PM＝∠P'PM+∠APO＝90°，

∴∠PP'M＝∠APO，

∴△PP'M∽△APO，

∴，即：，

整理得：4n+3m＝①，

∵EP'＝EP

∴（m+）2+（n﹣）2＝（）2②，

聯立①②解方程組得：（舍去），

∴P'（，）；

ii）當∠PAP'＝90°時，如圖3，過點P'作P'N⊥y軸于點N；

由△P'AN∽△APO得，即：，

整理得：3m+4n＝8①，

∵EP'＝EP，

∴（m+）2+（n﹣）2＝（）2②，

聯立①②解方程組得：，，

∴P'（，）或（，），

綜上所述，當△AP′P是以AP為直角邊的直角三角形時，點P′的坐標為（ ，）或（，）或（，）