Question

【題目】將矩形ABCD繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．

（1）如圖，當點E在BD上時．求證：FD＝CD；

（2）當α為何值時，GC＝GB？畫出圖形，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）先運用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF=AE，再根據AE=AB=CD，即可得出CD=DF；

（2）當GB=GC時，點G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論，依據∠DAG=60°，即可得到旋轉角α的度數．

（1）由旋轉可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，

∴∠AEB＝∠ABE，

又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，

∴∠EDA＝∠DEF，

又∵DE＝ED，

∴△AED≌△FDE（SAS），

∴DF＝AE，

又∵AE＝AB＝CD，

∴CD＝DF；

（2）如圖，當GB＝GC時，點G在BC的垂直平分線上，

分兩種情況討論：

①當點G在AD右側時，取BC的中點H，連接GH交AD于M，

∵GC＝GB，

∴GH⊥BC，

∴四邊形ABHM是矩形，

∴AM＝BH＝AD＝AG，

∴GM垂直平分AD，

∴GD＝GA＝DA，

∴△ADG是等邊三角形，

∴∠DAG＝60°，

∴旋轉角α＝60°；

②當點G在AD左側時，同理可得△ADG是等邊三角形，

∴∠DAG＝60°，

∴旋轉角α＝360°﹣60°＝300°．