Question

【題目】若拋物線y=x2+bx(b>2)上存在關(guān)于直線y=x成軸對稱的兩個點(diǎn)，則b的取值范圍是______.

Answer 1

【答案】b>3

【解析】

可設(shè)出對稱的兩個點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x成軸對稱，可以設(shè)直線PQ的方程為y=-x+a，由于P、Q兩點(diǎn)存在，所以方程組

有兩組不同的實(shí)數(shù)解，利用中點(diǎn)在直線上消去b，建立關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系，求出變量a的范圍．

解：設(shè)拋物線上關(guān)于直線l對稱的兩相異點(diǎn)為P（x1，y1）、Q（x2，y2），線段PQ的中點(diǎn)為M（x0，y0），設(shè)
直線PQ的方程為y=x+a，由于P、Q兩點(diǎn)存在，

所以方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解，

即得方程x2+（1+b）x -a=0．①

判別式△=-4＞0．②

由①得x0==-，y0=-x0+a=+a

∵M(jìn)（x0，y0）在y=x上，x0=y0

∴-+a ∴a=-b-1代入②解得b＞3或b-1

∵b>2，∴b＞3

故答案為：b＞3