Question

【題目】（1）問題發現：如圖1，在和中，，連接交于點．求證：；并直接寫出______．

（2）類比探究：如圖2，在和中，，連接交的延長線于點．請判斷的值及的度數．

（3）拓展延伸：在（2）的條件下，將繞點在平面內旋轉，所在直線交于點．若，請直接寫出當點與點重合時的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；；（2）；；（3）或．

【解析】

（1）證明△COA≌△DOB（SAS），得AC＝BD，；由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根據三角形的內角和定理得：∠AMB＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝40°；

（2）根據兩邊的比相等且夾角相等可得△AOC∽△BOD，則，由全等三角形的性質得∠AMB的度數；

（3）正確畫圖形，當點C與點M重合時，有兩種情況：如圖3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，則∠AMB＝90°，，可得AC的長．

解：（1）問題發現

如圖1，∵∠AOB＝∠COD＝40°，

∴∠COA＝∠DOB，

∵OC＝OD，OA＝OB，

∴△COA≌△DOB（SAS），

∴AC＝BD；

∵△COA≌△DOB，

∴∠CAO＝∠DBO，

∵∠AOB＝40°，

∴∠OAB+∠ABO＝140°，

在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣140°＝40°，

∴，

（2）類比探究

如圖2，

，∠AMB＝90°，理由是：

Rt△COD中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°，

∴，

同理得：，

∴，

∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOC＝∠BOD，

∴△AOC∽△BOD，

∴，∠CAO＝∠DBO，

在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠ABM）＝180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）＝90°；

（3）拓展延伸

①點C與點M重合時，如圖3，

同理得：△AOC∽△BOD，

∴∠AMB＝90°，，

設BD＝x，則AC＝x，

Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，

∴CD＝2，BC＝x﹣2，

Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝，

∴AB＝2OB＝2，

在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，

，

x2﹣x﹣6＝0，

（x﹣3）（x+2）＝0，

x1＝3，x2＝﹣2，

∴AC＝3；

②點C與點M重合時，如圖4，

同理得：∠AMB＝90°，，

設BD＝x，則AC＝x，

在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，

，

x2+x﹣6＝0，

（x+3）（x﹣2）＝0，

x1＝﹣3，x2＝2，

∴AC＝2；

綜上所述，AC的長為3或2．