Question

【題目】直線與x軸交于點A，與y軸交于點B．點C是x軸上一動點，點D為（3，0），拋物線過B、C、D三點.

（1）如圖1所示，若點C與點A關于y軸對稱.

①求直線BD和拋物線的解析式；

②若點P是拋物線對稱軸上一動點，當BP+CP的值最小時，求點P的坐標；

③若BD與拋物線的對稱軸交于點M，點N在坐標軸上，以點N、B、D為頂點的三角形與△MCD相似，求所有滿足條件的點N的坐標；

（2）如圖2，若BE//x軸，且E（4，3），點A1與點A關于直線BC對稱，當EA1的長最小時，直接寫出OC的長.

Answer 1

【答案】（1）①y=x2﹣4x+3．②點P（2，1）．③（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．(2) OC=．

【解析】試題分析：（1）①由直線y=3x+3可得A、B點的坐標，再根據A、C關于y軸對稱得到點C坐標，然后利用待定系數法即可得直線與拋物線的解析式；

②BD與對稱軸的交點即為所求作的點；

③分情況討論即可得；

（2）根據題意可知當點A1落在BE上時，EA1最小，由此即可得.

試題解析：（1）①∵直線l：y=3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴A（﹣1，0），B（0，3），

∵點A與點C關于y軸對稱，

∴C（1，0），

設直線BD的解析式為：y=kx+b，

∵點B（0，3），D（3，0）在直線BD上，

∴ ，解得k=﹣1，b=3，

∴直線BD的解析式為：y=﹣x+3；

設拋物線的解析式為：y=a（x﹣1）（x﹣3），

∵點B（0，3）在拋物線上，

∴3=a×（﹣1）×（﹣3），

解得：a=1，

∴拋物線的解析式為：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；

②點C關于對稱軸的對稱點為D，

直線BD的解析式為：y=﹣x+3，

當x=2時，y=1，

∴點P（2，1）；

③拋物線的解析式為：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴拋物線的對稱軸為直線x=2，頂點坐標為（2，﹣1），

直線BD：y=﹣x+3與拋物線的對稱軸交于點M，令x=2，得y=1，

∴M（2，1），

設對稱軸與x軸交點為點F，則CF=FD=MF=1，

∴△MCD為等腰直角三角形，

∵以點N、B、D為頂點的三角形與△MCD相似，

∴△BND為等腰直角三角形，

如答圖1所示：

（I）若BD為斜邊，則易知此時直角頂點為原點O，

∴N1（0，0）；

（II）若BD為直角邊，B為直角頂點，則點N在x軸負半軸上，

∵OB=OD=ON2=3，

∴N2（﹣3，0）；

（III）若BD為直角邊，D為直角頂點，則點N在y軸負半軸上，

∵OB=OD=ON3=3，

∴N3（0，﹣3），

∴滿足條件的點N坐標為：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）；

（2）如圖所示，當點A1在BE上是時，EA1最小，

由OB=3，OA=1，根據勾股定理可得AB= ，所以BA1=BA=，

易證明四邊形ACA1B是菱形，所以AC=AB=，所以OC=-1.